Questão 1. Seja z um número complexo. Se z + 1/z é um número real, mostre que o argumento de z é 0 ou π ou o módulo de z é 1.

Para mostrar que o argumento de z é 0 ou π ou o módulo de z é 1, podemos usar a propriedade dos números complexos. Seja z = a + bi, onde a e b são números reais e i é a unidade imaginária. Podemos escrever z + 1/z como: z + 1/z = (a + bi) + 1/(a + bi) Multiplicando o numerador e o denominador por (a - bi), obtemos: z + 1/z = (a + bi)(a - bi)/(a^2 - b^2) Simplificando, temos: z + 1/z = (a^2 + b^2)/(a^2 - b^2) + (2abi)/(a^2 - b^2) Para que z + 1/z seja um número real, a parte imaginária (2abi)/(a^2 - b^2) deve ser igual a zero. Isso ocorre quando b = 0. Portanto, se b = 0, temos: z + 1/z = (a^2 + 0)/(a^2 - 0) = a^2/a^2 = 1 Isso implica que o módulo de z é igual a 1. Por outro lado, se b ≠ 0, a parte imaginária não será zero e z + 1/z não será um número real. Portanto, concluímos que o argumento de z é 0 ou π ou o módulo de z é 1.