Questão 2. Uma população de bactérias cresce a uma taxa proporcional a população presente. Sabendo-se que após uma hora a população é 2 v...

Para resolver essa questão, vamos chamar a população inicial de P0 e o tempo de t. Sabemos que a população de bactérias cresce a uma taxa proporcional à população presente. Isso pode ser representado pela equação diferencial: dP/dt = k * P Onde dP/dt é a taxa de crescimento da população, k é a constante de proporcionalidade e P é a população no tempo t. Sabemos também que após uma hora, a população é 2 vezes a população inicial, ou seja: P(1) = 2 * P0 Agora, vamos resolver a equação diferencial: dP/dt = k * P Dividindo ambos os lados por P, temos: dP/P = k * dt Integrando ambos os lados, temos: ln(P) = k * t + C Onde C é a constante de integração. Agora, vamos usar a informação de que após uma hora a população é 2 vezes a população inicial: P(1) = 2 * P0 Substituindo t = 1 e P = 2 * P0 na equação, temos: ln(2 * P0) = k * 1 + C ln(2 * P0) = k + C Agora, vamos determinar a constante de integração C. Sabemos que ln(P0) = 0, pois a população inicial é positiva. Substituindo na equação, temos: ln(2 * P0) = k + 0 ln(2 * P0) = k Agora, temos a relação entre k e P0. Vamos substituir na equação diferencial: ln(P) = ln(2 * P0) * t Exponenciando ambos os lados, temos: P = e^(ln(2 * P0) * t) Simplificando, temos: P = 2 * P0^t Agora, vamos determinar o tempo necessário para que a população triplique. Sabemos que a população tripla é 3 vezes a população inicial, ou seja: P(t) = 3 * P0 Substituindo na equação, temos: 3 * P0 = 2 * P0^t Dividindo ambos os lados por P0, temos: 3 = 2^t Tomando o logaritmo de ambos os lados, temos: log(3) = log(2^t) Usando a propriedade do logaritmo, temos: log(3) = t * log(2) Dividindo ambos os lados por log(2), temos: t = log(3) / log(2) Aproximadamente, t ≈ 1.585 Portanto, o tempo necessário para que a população triplique é aproximadamente 1.585 horas. Para fazer o esboço do gráfico da população em função do tempo, podemos plotar os pontos (t, P) usando a equação P = 2 * P0^t. O eixo horizontal representa o tempo e o eixo vertical representa a população.