As superfícies podem ser definidas como conjuntos de pontos (x,y,z) do espaço cartesiano que satisfazem a uma equação da forma f(x,y,z) = 0, sendo ...

Para encontrar a equação do plano tangente a uma superfície, precisamos calcular o gradiente da função que define a superfície e, em seguida, usar esse gradiente para escrever a equação do plano tangente. No caso da superfície S descrita pela equação z = 3x² + y², podemos calcular o gradiente da função f(x, y, z) = z - 3x² - y². O gradiente é dado por: ∇f = (∂f/∂x, ∂f/∂y, ∂f/∂z) Calculando as derivadas parciais, temos: ∂f/∂x = -6x ∂f/∂y = -2y ∂f/∂z = 1 Agora, vamos calcular o gradiente no ponto P(0, -1, 2): ∇f(P) = (-6(0), -2(-1), 1) = (0, 2, 1) O vetor normal ao plano tangente é dado pelo gradiente no ponto P. Portanto, o vetor normal é (0, 2, 1). A equação do plano tangente é dada por: 0(x - 0) + 2(y - (-1)) + 1(z - 2) = 0 Simplificando, temos: 2y + z - 4 = 0 Portanto, a alternativa correta é a letra c) -2y + z - 4 = 0.