Questão 3. O subgrupo de Frattini Φ(G) é a interseção de todos os subgrupos maximais de um grupo G. Um elemeto g ∈ G é um non-gerador se toda ...

Para mostrar que Φ(G) é o conjunto dos não geradores em um grupo finito G, podemos seguir os seguintes passos: 1. Primeiro, vamos mostrar que Φ(G) é um subgrupo de G: - Sabemos que Φ(G) é a interseção de todos os subgrupos maximais de G. - Para mostrar que Φ(G) é um subgrupo, precisamos verificar se ele é fechado em relação à operação do grupo, se contém o elemento neutro e se contém o inverso de cada elemento. - Como Φ(G) é a interseção de subgrupos maximais, ele é fechado em relação à operação do grupo. - Além disso, como Φ(G) é a interseção de todos os subgrupos maximais, ele contém o elemento neutro. - E, por definição, Φ(G) contém o inverso de cada elemento, pois é a interseção de subgrupos maximais. 2. Agora, vamos mostrar que Φ(G) é o conjunto dos não geradores: - Suponha que g ∈ G seja um gerador, ou seja, 〈X, g〉 = G, onde X ⊆ G. - Se g é um gerador, então 〈X〉 = G, pois 〈X, g〉 é o menor subgrupo que contém X e g. - Mas se 〈X〉 = G, então X ⊆ 〈X〉 = G, o que implica que X ⊆ G. - Portanto, se g é um gerador, X ⊆ G. - Por outro lado, se g não é um gerador, então toda vez que 〈X, g〉 = G, tem-se 〈X〉 ≠ G, onde X ⊆ G. - Isso significa que se g não é um gerador, X ⊆ G, mas 〈X〉 ≠ G. - Portanto, se g não é um gerador, ele pertence a Φ(G). - Concluímos então que Φ(G) é o conjunto dos não geradores em um grupo finito G. Espero que isso ajude a responder sua pergunta! Se tiver mais dúvidas, é só perguntar.