Prove que, se H1 e H2 são subgrupos de um grupo G, então H1 ∪H2 é um subgrupo de G se, e somente se, H1 ⊂ H2 ou H2 ⊂ H1. Provar que H1 ∪ H2 é u...

Para provar que H1 ∪ H2 é um subgrupo de G se, e somente se, H1 ⊂ H2 ou H2 ⊂ H1, podemos dividir a prova em duas partes: Parte 1: Se H1 ⊂ H2 ou H2 ⊂ H1, então H1 ∪ H2 é um subgrupo de G. Suponha que H1 ⊂ H2. Então, para todo h1 ∈ H1 e h2 ∈ H2, temos que h1 ∈ H2. Como H2 é um subgrupo de G, temos que h1h2⁻¹ ∈ H2 para todo h1 ∈ H1 e h2 ∈ H2. Como H1 ⊂ H2, temos que h1h2⁻¹ ∈ H1 para todo h1 ∈ H1 e h2 ∈ H2. Portanto, h1h2⁻¹ ∈ H1 ∪ H2 para todo h1 ∈ H1 e h2 ∈ H2. Além disso, temos que e ∈ H1 ∪ H2, pois e ∈ H1 e e ∈ H2. Portanto, H1 ∪ H2 é um subgrupo de G. O mesmo raciocínio pode ser usado se H2 ⊂ H1. Parte 2: Se H1 ∪ H2 é um subgrupo de G, então H1 ⊂ H2 ou H2 ⊂ H1. Suponha que H1 ∪ H2 é um subgrupo de G. Se H1 = H2, então H1 ⊂ H2 e H2 ⊂ H1. Caso contrário, sem perda de generalidade, podemos supor que existe um elemento h1 ∈ H1 que não está em H2. Como H1 ∪ H2 é um subgrupo de G, temos que h1⁻¹ ∈ H1 ∪ H2. Se h1⁻¹ ∈ H1, então h1h1⁻¹ = e ∈ H1, o que é uma contradição. Portanto, h1⁻¹ ∈ H2. Como H2 é um subgrupo de G, temos que h1 ∈ H2, o que é uma contradição. Portanto, não pode existir um elemento h1 ∈ H1 que não está em H2. Portanto, H1 ⊂ H2. O mesmo raciocínio pode ser usado se não existe um elemento h1 ∈ H1 que não está em H2. Nesse caso, temos que H2 ⊂ H1. Portanto, concluímos que H1 ∪ H2 é um subgrupo de G se, e somente se, H1 ⊂ H2 ou H2 ⊂ H1.