Questão 4. Sejam H ≤ K ≤ G e N E G. Mostre que se HN = KN e H ∩N = K ∩N , tem que ser H = K.

Para mostrar que H = K, podemos usar a propriedade de inclusão reversa. Se H ≤ K, então todo elemento de H também pertence a K. Da mesma forma, se K ≤ H, então todo elemento de K também pertence a H. Dado que HN = KN e H ∩ N = K ∩ N, podemos usar a propriedade de igualdade de conjuntos para mostrar que H ≤ K e K ≤ H. Primeiro, vamos mostrar que H ≤ K. Seja x um elemento arbitrário de H. Como HN = KN, temos que x ∈ HN e x ∈ KN. Isso implica que x ∈ H e x ∈ K. Portanto, todo elemento de H também pertence a K, o que significa que H ≤ K. Agora, vamos mostrar que K ≤ H. Seja y um elemento arbitrário de K. Como HN = KN, temos que y ∈ HN e y ∈ KN. Isso implica que y ∈ H e y ∈ K. Portanto, todo elemento de K também pertence a H, o que significa que K ≤ H. Como mostramos que H ≤ K e K ≤ H, concluímos que H = K.