Quest.: 4 4. Seja a função f ( x , y , z ) = x 3 y − z 4 y 2 , onde x = (u+1) e v − 1 , y = u+ 2v e z = v cos u. Determine o valor da deri...

Para determinar a derivada parcial de f em relação a v, vamos substituir as expressões de x, y e z na função f e calcular a derivada em relação a v. Dada a função f(x, y, z) = x^3y - z^4y^2, onde x = (u+1)v - 1, y = u + 2v e z = vcos(u). Substituindo as expressões de x, y e z na função f, temos: f(u, v) = [(u+1)v - 1]^3(u + 2v) - (vcos(u))^4(u + 2v)^2. Agora, vamos calcular a derivada parcial de f em relação a v. Para isso, derivamos em relação a v considerando u como uma constante: ∂f/∂v = 3[(u+1)v - 1]^2(u + 2v) + [(u+1)v - 1]^3(1) - 8(vcoss(u))^3(u + 2v)^2. Agora, vamos substituir u = 0 e v = 1 na expressão da derivada parcial: ∂f/∂v = 3[(0+1)(1) - 1]^2(0 + 2(1)) + [(0+1)(1) - 1]^3(1) - 8(1cos(0))^3(0 + 2(1))^2. Simplificando a expressão, temos: ∂f/∂v = 3(0)^2(2) + (0)^3(1) - 8(1)^3(2)^2. ∂f/∂v = 0 + 0 - 8(1)(4). ∂f/∂v = -32. Portanto, o valor da derivada parcial de f em relação a v para u = 0 e v = 1 é -32.