Verificar que a EDO é exata e resolvê-la. a) 2 2 ' 0y xyy+ = ; b) 2 1 0ydy dx x x − = c) 3 33 2 ' 0x xe y x e y− + = ; d) (cos cos ) ( ) 0y y x dx ...

Vamos verificar se cada uma das equações diferenciais é exata e, em caso afirmativo, resolvê-las: a) A equação 2y + 2xy' = 0 não é exata, pois a derivada parcial de 2y em relação a y (2) é diferente da derivada parcial de 2xy' em relação a x (2x). Portanto, não podemos resolvê-la utilizando o método de equações exatas. b) A equação dy/dx - x/x^2 = 0 é exata, pois a derivada parcial de -x/x^2 em relação a x (-1/x^2) é igual à derivada parcial de dy/dx em relação a y (0). Para resolvê-la, podemos encontrar uma função potencial φ(x, y) tal que ∂φ/∂x = -x/x^2 e ∂φ/∂y = 0. Integrando a primeira equação em relação a x, obtemos φ(x, y) = ln|x| + g(y), onde g(y) é uma função arbitrária de y. A partir disso, derivamos φ(x, y) em relação a y e igualamos a 0 para encontrar g(y) = C, onde C é uma constante. Portanto, a solução geral da equação diferencial é ln|x| + C = 0. c) A equação 3x^2e^y + 2xye^y - e^y = 0 não é exata, pois a derivada parcial de 3x^2e^y em relação a y (3x^2e^y) é diferente da derivada parcial de 2xye^y - e^y em relação a x (2ye^y). Portanto, não podemos resolvê-la utilizando o método de equações exatas. d) A equação (cos(x)cos(y) - y)dx + (sen(x)sen(y) + x)dy = 0 não é exata, pois a derivada parcial de cos(x)cos(y) - y em relação a y (-cos(x)sen(y) - 1) é diferente da derivada parcial de sen(x)sen(y) + x em relação a x (cos(x)sen(y)). Portanto, não podemos resolvê-la utilizando o método de equações exatas. e) A equação 2x^2e^x - 2x^2ye^x + 2e^xdx + 2e^xdy = 0 não é exata, pois a derivada parcial de 2x^2e^x - 2x^2ye^x em relação a y (-2x^2e^x) é diferente da derivada parcial de 2e^x em relação a x (2e^x). Portanto, não podemos resolvê-la utilizando o método de equações exatas. f) A equação 5x^3y^4 - 6x^5y^2 + 4x^3y^4 + 3x^5y^2 + 5x^4y^3 + 6x^2y^5 = 0 não é exata, pois a derivada parcial de 5x^3y^4 - 6x^5y^2 + 4x^3y^4 + 3x^5y^2 em relação a y (20x^3y^3 - 12x^5y) é diferente da derivada parcial de 5x^4y^3 + 6x^2y^5 em relação a x (20x^3y^3 + 12x^5y). Portanto, não podemos resolvê-la utilizando o método de equações exatas. Espero ter ajudado! Se tiver mais alguma dúvida, é só perguntar.