E12: Se o número 8n ⋅ 62 tem 90 divisores naturais, qual o valor de n?

Para encontrar o valor de n, precisamos analisar a fatoração do número 8n ⋅ 62 e determinar o número de divisores naturais. Primeiro, vamos fatorar o número 8n ⋅ 62. Sabemos que 8 = 2³ e 62 = 2 ⋅ 31. Portanto, podemos escrever o número como (2³)ⁿ ⋅ (2 ⋅ 31). Agora, vamos determinar o número de divisores naturais. Para isso, precisamos considerar a fatoração do número e usar a fórmula para calcular o número de divisores. A fórmula para calcular o número de divisores de um número é dada por (a + 1)(b + 1)(c + 1)..., onde a, b, c, ... são os expoentes dos fatores primos na fatoração do número. No caso do número 8n ⋅ 62, temos os seguintes expoentes: - Para o fator 2, temos n + 3 (pois temos 2³ na fatoração). - Para o fator 31, temos 1 (pois temos apenas um 31 na fatoração). Portanto, o número de divisores naturais é dado por (n + 3 + 1)(1 + 1) = (n + 4)(2) = 2n + 8. Sabemos que o número de divisores naturais é igual a 90. Portanto, temos a equação 2n + 8 = 90. Resolvendo essa equação, encontramos o valor de n: 2n + 8 = 90 2n = 90 - 8 2n = 82 n = 82/2 n = 41 Portanto, o valor de n é 41.