Esboce a região de integração e calcule a integral∫ 2 0 ∫ 2 x e−y 2 dydx.

Para esboçar a região de integração, vamos analisar os limites de integração da integral dupla. Temos ∫ 2 0 ∫ 2 x e−y 2 dydx. O limite de integração externo é de 2 a 0 para x. Isso significa que x varia de 0 a 2. O limite de integração interno é de 2x a 0 para y. Isso significa que y varia de 0 a 2x. Agora, vamos esboçar a região de integração no plano xy. A região é delimitada pelo eixo x, a reta y = 2x e a reta x = 2. Agora, para calcular a integral, podemos inverter a ordem de integração e calcular primeiro a integral interna em relação a y e, em seguida, a integral externa em relação a x. ∫ 2 0 ∫ 2 x e−y 2 dydx = ∫ 2 0 ∫ 2x 0 e−y 2 dydx Agora, podemos calcular a integral interna em relação a y: ∫ 2x 0 e−y 2 dy = -e−y 2 | 2x 0 = -e−(2x) 2 + e^0 = -e−4x + 1 Agora, podemos calcular a integral externa em relação a x: ∫ 2 0 -e−4x + 1 dx = -1/4e−4x + x | 2 0 = -1/4e−8 + 2 - (-1/4e^0 + 0) = -1/4e−8 + 2 + 1/4 Portanto, a integral ∫ 2 0 ∫ 2 x e−y 2 dydx é igual a -1/4e−8 + 9/4.