Seja H um subgrupo do grupo G. O conjunto aH diz-se a classe lateral esquerda de H em G contendo a. O conjunto Ha diz-se a classe lateral direita de H em G contendo a. O elemento a diz-se um representante da classe lateral aH (ou Ha). Sejam G=(Z12,+) e H = {0,4,8} um subgrupo de G. Determine o grupo quociente (G/H,+).

Question

Seja H um subgrupo do grupo G. O conjunto aH diz-se a classe lateral esquerda de H em G contendo a. O conjunto Ha diz-se a classe lateral direita d...

Ed · Answer

Para determinar o grupo quociente $ G/H $ onde $ G = (\mathbb{Z}_{12}, +) $ e $ H = \{0, 4, 8\} $, precisamos seguir os seguintes passos:

1. **Identificar as classes laterais**: As classes laterais de $ H $ em $ G $ são formadas adicionando cada elemento de $ G $ a $ H $.

2. **Calcular as classes laterais**:
   - Para $ a = 0 $: $ 0 + H = H = \{0, 4, 8\} $
   - Para $ a = 1 $: $ 1 + H = \{1, 5, 9\} $
   - Para $ a = 2 $: $ 2 + H = \{2, 6, 10\} $
   - Para $ a = 3 $: $ 3 + H = \{3, 7, 11\} $
   - Para $ a = 4 $: $ 4 + H = H = \{0, 4, 8\} $ (já foi contado)
   - Para $ a = 5 $: $ 5 + H = \{1, 5, 9\} $ (já foi contado)
   - Para $ a = 6 $: $ 6 + H = \{2, 6, 10\} $ (já foi contado)
   - Para $ a = 7 $: $ 7 + H = \{3, 7, 11\} $ (já foi contado)
   - Para $ a = 8 $: $ 8 + H = H = \{0, 4, 8\} $ (já foi contado)
   - Para $ a = 9 $: $ 9 + H = \{1, 5, 9\} $ (já foi contado)
   - Para $ a = 10 $: $ 10 + H = \{2, 6, 10\} $ (já foi contado)
   - Para $ a = 11 $: $ 11 + H = \{3, 7, 11\} $ (já foi contado)

3. **Classes distintas**: As classes laterais distintas são:
   - $ H = \{0, 4, 8\} $
   - $ \{1, 5, 9\} $
   - $ \{2, 6, 10\} $
   - $ \{3, 7, 11\} $

4. **Grupo quociente**: Portanto, o grupo quociente $ G/H $ tem 4 classes laterais distintas. Podemos representá-lo como:
   $$
   G/H = \{H, 1+H, 2+H, 3+H\}
   $$

5. **Estrutura do grupo quociente**: O grupo quociente $ G/H $ é isomorfo a $ \mathbb{Z}_4 $ com a operação de adição.

Assim, a resposta final é que o grupo quociente $ G/H $ é isomorfo a $ \mathbb{Z}_4 $.

Ed · Answer

Para determinar o grupo quociente (G/H, +), precisamos encontrar todas as classes laterais de H em G e, em seguida, realizar a operação de adição em cada classe lateral.

No caso, temos G = (Z12, +) e H = {0, 4, 8}. Vamos encontrar as classes laterais de H em G:

Classe lateral esquerda de 0 em G: 0 + H = {0, 4, 8}
Classe lateral esquerda de 1 em G: 1 + H = {1, 5, 9}
Classe lateral esquerda de 2 em G: 2 + H = {2, 6, 10}
Classe lateral esquerda de 3 em G: 3 + H = {3, 7, 11}

Agora, vamos realizar a operação de adição em cada classe lateral:

Classe lateral esquerda de 0 em G: 0 + H = {0, 4, 8}
Classe lateral esquerda de 1 em G: 1 + H = {1, 5, 9}
Classe lateral esquerda de 2 em G: 2 + H = {2, 6, 10}
Classe lateral esquerda de 3 em G: 3 + H = {3, 7, 11}

Portanto, o grupo quociente (G/H, +) é dado por:
(G/H, +) = {{0, 4, 8}, {1, 5, 9}, {2, 6, 10}, {3, 7, 11}}

Espero ter ajudado! Se tiver mais alguma dúvida, é só perguntar.

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