Problema 14 O vetor posição de uma partícula em movimento é γ(t) = ( 1− t2 / 1 + t2 , 2t / 1 + t2 ) a) Mostre que a partícula se move sobre uma cir...

a) Para mostrar que a partícula se move sobre uma circunferência de centro na origem, podemos calcular o raio da circunferência. O raio é dado pela fórmula r = √(x^2 + y^2), onde x e y são as coordenadas do vetor posição γ(t). Substituindo as coordenadas do vetor γ(t), temos: r = √((1 - t^2)/(1 + t^2))^2 + (2t/(1 + t^2))^2 Simplificando a expressão, temos: r = √(1 - 2t^2 + t^4 + 4t^2)/(1 + t^2) r = √(1 + 2t^2 + t^4)/(1 + t^2) r = √((1 + t^2)^2)/(1 + t^2) r = (1 + t^2)/(1 + t^2) r = 1 Portanto, o raio da circunferência é igual a 1, o que indica que a partícula se move sobre uma circunferência de raio 1 e centro na origem. b) Quando t aumenta, a partícula se move no sentido anti-horário ao redor da circunferência. c) Não há pontos na circunferência que não sejam ocupados pela partícula quando t percorre o intervalo (-∞, +∞). Isso ocorre porque a função γ(t) é contínua e cobre todos os pontos da circunferência à medida que t varia.