5. Calcule os limites: a) lim t→0 (e−3ti + t2 sen t j + cos 2t k) b) lim t→1 (t2 − t/t− 1 i + √t+ 8 j + sin πt/ln t k) c) lim t→∞ (1 + t2/1− t2, tg...

a) Para calcular o limite, podemos calcular o limite de cada componente do vetor. Temos: lim t→0 e^(-3t)i = 1 (pois e^0 = 1) lim t→0 t^2 sen(t)j = 0 (pois t^2 tende a zero mais rápido do que sen(t)) lim t→0 cos(2t)k = 1 (pois cos(0) = 1) Portanto, o limite é o vetor (1, 0, 1). b) Para calcular o limite, podemos calcular o limite de cada componente do vetor. Temos: lim t→1 (t^2 - t)/(t - 1)i = 1 (aplicando a regra de L'Hôpital) lim t→1 √(t + 8)j = √9 = 3 lim t→1 sin(πt/ln(t))k = sin(π/0-) = indefinido Portanto, o limite não existe. c) Para calcular o limite, podemos calcular o limite de cada componente do vetor. Temos: lim t→∞ (1 + t^2)/(1 - t^2)i = -1 (pois t^2 tende a infinito mais rápido do que 1) lim t→∞ tg^(-1)(t)j = π/2 (pois tg^(-1)(t) tende a π/2 quando t tende a infinito) lim t→∞ (1 - 2^(-2t))/t k = 0 (pois 2^(-2t) tende a zero mais rápido do que 1) Portanto, o limite é o vetor (-1, π/2, 0). d) Para calcular o limite, podemos calcular o limite de cada componente do vetor. Temos: lim t→∞ t e^(-t)i = 0 (pois e^(-t) tende a zero mais rápido do que t) lim t→∞ (t^3 + t)/(2t^3 - 1)i = 1/2 (aplicando a regra de L'Hôpital) lim t→∞ t sin(1/t)k = 0 (pois |t sin(1/t)| <= |t|) Portanto, o limite é o vetor (0, 1/2, 0).