Problema 17 Suponha que em uma certa região do espaço o potencial elétrico V seja dado por V (x, y, z) = 5x2 − 3xy + xyz. a) Determine a taxa de va...

a) Para determinar a taxa de variação do potencial em P0 = (3, 4, 5) na direção do vetor v = i + j - k, podemos utilizar o gradiente do potencial elétrico. O gradiente é dado por ∇V = (∂V/∂x)i + (∂V/∂y)j + (∂V/∂z)k. Calculando as derivadas parciais do potencial em relação a x, y e z, temos: ∂V/∂x = 10x - 3y + yz ∂V/∂y = -3x + xz ∂V/∂z = xy Substituindo as coordenadas de P0 na expressão do gradiente, temos: ∇V(P0) = (10(3) - 3(4) + (4)(5))i + (-3(3) + (3)(5))j + (3)(4)k ∇V(P0) = 30i + 6j + 12k A taxa de variação do potencial em P0 na direção do vetor v é dada pelo produto escalar entre o gradiente e o vetor unitário na direção de v. O vetor unitário na direção de v é dado por v/|v|, onde |v| é o módulo de v. Calculando o módulo de v: |v| = √(1^2 + 1^2 + (-1)^2) = √3 Calculando o produto escalar: ∇V(P0) · (v/|v|) = (30i + 6j + 12k) · ((1/√3)i + (1/√3)j + (-1/√3)k) ∇V(P0) · (v/|v|) = (30/√3) + (6/√3) + (-12/√3) ∇V(P0) · (v/|v|) = (30 + 6 - 12)/√3 ∇V(P0) · (v/|v|) = 24/√3 Portanto, a taxa de variação do potencial em P0 na direção do vetor v é 24/√3. b) Para determinar a direção em que V varia mais rapidamente em P0, devemos encontrar o vetor unitário na direção do gradiente ∇V(P0). Esse vetor é dado por ∇V(P0)/|∇V(P0)|, onde |∇V(P0)| é o módulo do gradiente. Calculando o módulo do gradiente: |∇V(P0)| = √((30)^2 + (6)^2 + (12)^2) = √(900 + 36 + 144) = √1080 = 6√15 Calculando o vetor unitário: ∇V(P0)/|∇V(P0)| = (30i + 6j + 12k)/(6√15) ∇V(P0)/|∇V(P0)| = (5/√15)i + (1/√15)j + (2/√15)k Portanto, a direção em que V varia mais rapidamente em P0 é dada pelo vetor (5/√15)i + (1/√15)j + (2/√15)k. c) A taxa máxima de variação em P0 é dada pelo módulo do gradiente |∇V(P0)|, que calculamos anteriormente. Portanto, a taxa máxima de variação em P0 é 6√15.