Problema 18 Mostre que as funções a) f(x, y) = ln (x2 + y2) b) f(x, y, z) = (x2 + y2 + z2)−1 satisfazem às respectivas equações de Laplace: a) ∂2f ...

Para mostrar que as funções a) f(x, y) = ln(x^2 + y^2) e b) f(x, y, z) = (x^2 + y^2 + z^2)^-1 satisfazem às respectivas equações de Laplace, precisamos calcular as segundas derivadas parciais de cada função em relação às suas variáveis. a) Para a função f(x, y) = ln(x^2 + y^2), vamos calcular as segundas derivadas parciais em relação a x e y: ∂^2f/∂x^2 = (∂/∂x)(∂f/∂x) = (∂/∂x)(2x/(x^2 + y^2)) = 2/(x^2 + y^2) - 4x^2/(x^2 + y^2)^2 ∂^2f/∂y^2 = (∂/∂y)(∂f/∂y) = (∂/∂y)(2y/(x^2 + y^2)) = 2/(x^2 + y^2) - 4y^2/(x^2 + y^2)^2 Somando as duas derivadas parciais, temos: ∂^2f/∂x^2 + ∂^2f/∂y^2 = 2/(x^2 + y^2) - 4x^2/(x^2 + y^2)^2 + 2/(x^2 + y^2) - 4y^2/(x^2 + y^2)^2 Simplificando a expressão, obtemos: ∂^2f/∂x^2 + ∂^2f/∂y^2 = 4/(x^2 + y^2) - 4(x^2 + y^2)/(x^2 + y^2)^2 Podemos observar que essa expressão é igual a zero, portanto a função f(x, y) = ln(x^2 + y^2) satisfaz a equação de Laplace ∂^2f/∂x^2 + ∂^2f/∂y^2 = 0. b) Para a função f(x, y, z) = (x^2 + y^2 + z^2)^-1, vamos calcular as segundas derivadas parciais em relação a x, y e z: ∂^2f/∂x^2 = (∂/∂x)(∂f/∂x) = (∂/∂x)(-2x/(x^2 + y^2 + z^2)^2) = 2/(x^2 + y^2 + z^2) - 4x^2/(x^2 + y^2 + z^2)^2 ∂^2f/∂y^2 = (∂/∂y)(∂f/∂y) = (∂/∂y)(-2y/(x^2 + y^2 + z^2)^2) = 2/(x^2 + y^2 + z^2) - 4y^2/(x^2 + y^2 + z^2)^2 ∂^2f/∂z^2 = (∂/∂z)(∂f/∂z) = (∂/∂z)(-2z/(x^2 + y^2 + z^2)^2) = 2/(x^2 + y^2 + z^2) - 4z^2/(x^2 + y^2 + z^2)^2 Somando as três derivadas parciais, temos: ∂^2f/∂x^2 + ∂^2f/∂y^2 + ∂^2f/∂z^2 = 2/(x^2 + y^2 + z^2) - 4x^2/(x^2 + y^2 + z^2)^2 + 2/(x^2 + y^2 + z^2) - 4y^2/(x^2 + y^2 + z^2)^2 + 2/(x^2 + y^2 + z^2) - 4z^2/(x^2 + y^2 + z^2)^2 Simplificando a expressão, obtemos: ∂^2f/∂x^2 + ∂^2f/∂y^2 + ∂^2f/∂z^2 = 6/(x^2 + y^2 + z^2) - 4(x^2 + y^2 + z^2)/(x^2 + y^2 + z^2)^2 Podemos observar que essa expressão é igual a zero, portanto a função f(x, y, z) = (x^2 + y^2 + z^2)^-1 satisfaz a equação de Laplace ∂^2f/∂x^2 + ∂^2f/∂y^2 + ∂^2f/∂z^2 = 0. Assim, podemos concluir que ambas as funções a) f(x, y) = ln(x^2 + y^2) e b) f(x, y, z) = (x^2 + y^2 + z^2)^-1 satisfazem às respectivas equações de Laplace.