Problema 20 Seja u(x, y) = f(x− ay)+ g(x+ ay), onde a é uma constante real e f e g são funções de uma variável real, deriváveis até segunda ordem. ...

Para verificar que ∂²u/∂y² = a²∂²u/∂x², podemos calcular as derivadas parciais de u em relação a y e x e compará-las. Começando com a derivada parcial de u em relação a y, temos: ∂u/∂y = ∂/∂y [f(x - ay) + g(x + ay)] Aplicando a regra da cadeia, temos: ∂u/∂y = -af'(x - ay) + ag'(x + ay) Agora, calculando a segunda derivada parcial de u em relação a y, temos: ∂²u/∂y² = ∂/∂y [-af'(x - ay) + ag'(x + ay)] Aplicando novamente a regra da cadeia, temos: ∂²u/∂y² = -a²f''(x - ay) + a²g''(x + ay) Agora, vamos calcular a segunda derivada parcial de u em relação a x: ∂u/∂x = ∂/∂x [f(x - ay) + g(x + ay)] Aplicando a regra da cadeia, temos: ∂u/∂x = f'(x - ay) + g'(x + ay) Agora, calculando a segunda derivada parcial de u em relação a x, temos: ∂²u/∂x² = ∂/∂x [f'(x - ay) + g'(x + ay)] Aplicando novamente a regra da cadeia, temos: ∂²u/∂x² = f''(x - ay) + g''(x + ay) Comparando as duas expressões, podemos ver que: ∂²u/∂y² = -a²f''(x - ay) + a²g''(x + ay) = a²[f''(x - ay) + g''(x + ay)] = a²∂²u/∂x² Portanto, verificamos que ∂²u/∂y² = a²∂²u/∂x².