12) Seja u = f(x − at) + g(x + at), onde f e g são duas funções quaisquer de uma variável real e deriváveis até 2a ordem. Veri�que que ∂2u∂t2= a2∂2...

Para resolver essa questão, vamos começar calculando as derivadas parciais de segunda ordem de u em relação a t e x. Começando com a derivada parcial de segunda ordem em relação a t: ∂/∂t (∂u/∂t) = ∂/∂t (∂/∂t [f(x - at) + g(x + at)]) = ∂/∂t [-a * f'(x - at) + a * g'(x + at)] = -a^2 * f''(x - at) + a^2 * g''(x + at) Agora, vamos calcular a derivada parcial de segunda ordem em relação a x: ∂/∂x (∂u/∂x) = ∂/∂x (∂/∂x [f(x - at) + g(x + at)]) = ∂/∂x [f''(x - at) + g''(x + at)] = f''(x - at) + g''(x + at) Agora, vamos comparar as duas expressões que encontramos: ∂2u/∂t2 = -a^2 * f''(x - at) + a^2 * g''(x + at) a^2 * ∂2u/∂x2 = a^2 * [f''(x - at) + g''(x + at)] Podemos ver que as duas expressões são iguais, portanto: ∂2u/∂t2 = a^2 * ∂2u/∂x2 Portanto, a alternativa correta é letra E.