e^2x - e^{x + 1} - e^x + e < 0

De quebra, segue a resolução de um problema Bonus:

3. 12^x / 9^x + 15. 16^x / 9^x = 2. 9^x / 9^x

3. ( 12/9 )^x + 15. ( 16/9 )^x = 2

3. ( 4/3 )^x + 15. (( 4/3 )^x)² = 2

Vamos convencionar ( 4/3 )^x = a

3.a + 15.a² = 2

15. a² + 3.a - 2 = 0

Δ = b² – 4ac

Δ = ( 3 )² - 4. -2. 15

Δ = 9 + 120

Δ = 129

a' = ( -3 + √129 )/2. 15 ==> ( -3 + √129 )/30

a'' = ( -3 - √129 )/2. 15 ==> ( -3 - √129 )/30 ( Esse valor não atende a equação )

Voltando a equação anterior, temos :

( 4/3 )^x = a

( 4/3 )^x = ( -3 + √129 )/30

log( 4/3 )^x = Log(( -3 + √129 )/30)

x. log( 4/3 ) = Log(( -3 + √129 )/30)

x = Log(( -3 + √129 )/30) / log( 4/3 )

x = Log _4/3(( -3 + √129 )/30)

Agora vamos aplicar o valor do x na ultima expresão do problema:

( 2√3 / 3 )^-2x

( (4. 3 ) / 9 ) ^-x

( 4/3 )^-x

( 4/3 )^{- ( Log} _4/3^{(( -3 + √129 )/30) )}

( 4/3 ) ^{( Log} _4/3^{(( -3 + √129 )/30) ) ^ -1 )}

( -3 + √129 )/30)^-1

30 / (-3 + √129 )

30 / ( √129 - 3 )

( 30. ( √129 + 3 ) ) / ( ( √129 - 3 ). ( ( √129 + 3 ) )

( 30. ( √129 + 3 ) ) / ( 129 - 9 )

( 30. ( √129 + 3 ) ) / 120

( √129 + 3 ) / 4