Dois tetraedros (dados com quatro faces) com as faces numeradas de um a quatro são lançados e os números das faces voltadas para baixo são anotados...

a) Para construir a tabela da distribuição conjunta de X e Y, podemos listar todas as possíveis combinações de resultados dos dois dados. Como cada dado tem quatro faces numeradas de um a quatro, temos um total de 4 * 4 = 16 combinações possíveis. Vamos listar todas elas: (X, Y) = (1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4) b) Para determinar as médias e as variâncias de X, Y e Z, precisamos calcular os valores esperados e as variâncias de cada variável aleatória. Média de X: Para calcular a média de X, somamos os valores possíveis de X multiplicados por suas respectivas probabilidades e obtemos: E(X) = (1 * 1/16) + (2 * 2/16) + (3 * 3/16) + (4 * 4/16) = 30/16 = 1,875 Variância de X: Para calcular a variância de X, precisamos calcular a média dos quadrados dos desvios de X em relação à sua média. Podemos fazer isso usando a fórmula: Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 Calculando os valores necessários: E(X^2) = (1^2 * 1/16) + (2^2 * 2/16) + (3^2 * 3/16) + (4^2 * 4/16) = 70/16 = 4,375 Var(X) = 4,375 - (1,875)^2 = 4,375 - 3,515625 = 0,859375 Média de Y: Para calcular a média de Y, somamos os valores possíveis de Y multiplicados por suas respectivas probabilidades e obtemos: E(Y) = (1 * 1/16) + (1 * 2/16) + (1 * 3/16) + (1 * 4/16) = 10/16 = 0,625 Variância de Y: Para calcular a variância de Y, usamos a mesma fórmula que usamos para calcular a variância de X: Var(Y) = E(Y^2) - [E(Y)]^2 Calculando os valores necessários: E(Y^2) = (1^2 * 1/16) + (1^2 * 2/16) + (1^2 * 3/16) + (1^2 * 4/16) = 10/16 = 0,625 Var(Y) = 0,625 - (0,625)^2 = 0,625 - 0,390625 = 0,234375 Média de Z: Para calcular a média de Z, somamos os valores possíveis de Z multiplicados por suas respectivas probabilidades e obtemos: E(Z) = (2 * 1/16) + (3 * 2/16) + (4 * 3/16) + (5 * 4/16) + (6 * 3/16) + (7 * 2/16) + (8 * 1/16) = 70/16 = 4,375 Variância de Z: Para calcular a variância de Z, usamos a mesma fórmula que usamos para calcular a variância de X e Y: Var(Z) = E(Z^2) - [E(Z)]^2 Calculando os valores necessários: E(Z^2) = (2^2 * 1/16) + (3^2 * 2/16) + (4^2 * 3/16) + (5^2 * 4/16) + (6^2 * 3/16) + (7^2 * 2/16) + (8^2 * 1/16) = 238/16 = 14,875 Var(Z) = 14,875 - (4,375)^2 = 14,875 - 19,140625 = -4,265625 c) Para calcular COV(X,Y) (covariância de X e Y) e ρ(X,Y) (coeficiente de correlação de X e Y), precisamos usar as fórmulas correspondentes: COV(X,Y) = E(XY) - E(X)E(Y) Calculando os valores necessários: E(XY) = (1 * 1 * 1/16) + (1 * 2 * 2/16) + (1 * 3 * 3/16) + (1 * 4 * 4/16) + (2 * 1 * 1/16) + (2 * 2 * 2/16) + (2 * 3 * 3/16) + (2 * 4 * 4/16) + (3 * 1 * 1/16) + (3 * 2 * 2/16) + (3 * 3 * 3/16) + (3 * 4 * 4/16) + (4 * 1 * 1/16) + (4 * 2 * 2/16) + (4 * 3 * 3/16) + (4 * 4 * 4/16) = 140/16 = 8,75 COV(X,Y) = 8,75 - (1,875)(0,625) = 8,75 - 1,171875 = 7,578125 ρ(X,Y) = COV(X,Y) / (σ(X)σ(Y)) Calculando os valores necessários: σ(X) = √Var(X) = √0,859375 = 0,9267767 σ(Y) = √Var(Y) = √0,234375 = 0,4841229 ρ(X,Y) = 7,578125 / (0,9267767 * 0,4841229) = 16,6666667 Espero que isso ajude! Se você tiver mais alguma dúvida, é só perguntar.