Suponha que X e Y tenham a seguinte distribuição conjunta: Y\X 1 2 3 1 0,1 0,1 0,0 2 0,1 0,2 0,3 3 0,1 0,1 0,0 a) Determine a distribuição de X+Y e...

a) Para determinar a distribuição de X+Y, somamos os valores correspondentes nas células da tabela de distribuição conjunta: X+Y | 1 | 2 | 3 ------|-----|-----|----- 1 | 0,1 | 0,1 | 0,0 2 | 0,1 | 0,2 | 0,3 3 | 0,1 | 0,1 | 0,0 b) Para calcular E(X+Y), somamos os produtos de cada valor de X+Y pela sua probabilidade correspondente e obtemos a média ponderada: E(X+Y) = (1*0,1) + (2*0,1) + (3*0,1) + (2*0,1) + (3*0,2) + (4*0,3) + (3*0,1) + (4*0,1) + (5*0,0) = 2,6 Podemos obter a mesma resposta somando as médias de X e Y: E(X) + E(Y) = (1*0,3) + (2*0,6) + (3*0,1) + (1*0,3) + (2*0,6) + (3*0,1) = 2,6 c) Para mostrar que X e Y não são independentes, devemos verificar se a igualdade E(XY) = E(X)E(Y) é satisfeita. Se não for, então X e Y não são independentes. E(XY) = (1*1*0,1) + (1*2*0,1) + (1*3*0,0) + (2*1*0,1) + (2*2*0,2) + (2*3*0,3) + (3*1*0,1) + (3*2*0,1) + (3*3*0,0) = 1,9 E(X)E(Y) = (1*0,3) * (1*0,3) = 0,09 Como E(XY) ≠ E(X)E(Y), concluímos que X e Y não são independentes. d) Para calcular COV(X,Y), utilizamos a fórmula COV(X,Y) = E(XY) - E(X)E(Y): COV(X,Y) = 1,9 - (0,3*0,3) = 1,9 - 0,09 = 1,81 Para calcular ρ(X,Y), utilizamos a fórmula ρ(X,Y) = COV(X,Y) / (σ(X)σ(Y)), onde σ(X) e σ(Y) são os desvios padrão de X e Y, respectivamente. Como não temos os desvios padrão, não podemos calcular ρ(X,Y). e) Para calcular Var(X+Y), utilizamos a fórmula Var(X+Y) = Var(X) + Var(Y) + 2COV(X,Y): Var(X+Y) = Var(X) + Var(Y) + 2COV(X,Y) = (0,3*0,3) + (0,6*0,6) + 2*1,81 = 0,09 + 0,36 + 3,62 = 4,07