Considere a distribuição conjunta de X e Y. Y\X 1 2 3 0 0,1 0,1 0,1 1 0,2 0 0,3 2 0 0,1 0,1 a) Determine as distribuições marginais de X e Y. b) Ob...

a) Para determinar as distribuições marginais de X e Y, basta somar as probabilidades de cada valor de X e Y, respectivamente. Distribuição marginal de X: X=1: 0,1 + 0,2 = 0,3 X=2: 0,1 + 0,1 + 0,1 = 0,3 X=3: 0,1 + 0,3 + 0,1 = 0,5 Distribuição marginal de Y: Y=0: 0,1 + 0,1 + 0,1 = 0,3 Y=1: 0,2 + 0,3 = 0,5 Y=2: 0,1 + 0,1 + 0,1 = 0,3 b) Para obter as esperanças e variâncias de X e Y, utilizamos as fórmulas: Esperança de X (E[X]): E[X] = Σ(x * P(X=x)) E[X] = 1 * 0,3 + 2 * 0,3 + 3 * 0,5 E[X] = 0,3 + 0,6 + 1,5 E[X] = 2,4 Variância de X (Var[X]): Var[X] = Σ((x - E[X])^2 * P(X=x)) Var[X] = (1 - 2,4)^2 * 0,3 + (2 - 2,4)^2 * 0,3 + (3 - 2,4)^2 * 0,5 Var[X] = (-1,4)^2 * 0,3 + (-0,4)^2 * 0,3 + (0,6)^2 * 0,5 Var[X] = 1,96 * 0,3 + 0,16 * 0,3 + 0,36 * 0,5 Var[X] = 0,588 + 0,048 + 0,18 Var[X] = 0,816 Esperança de Y (E[Y]): E[Y] = Σ(y * P(Y=y)) E[Y] = 0 * 0,3 + 1 * 0,5 + 2 * 0,3 E[Y] = 0 + 0,5 + 0,6 E[Y] = 1,1 Variância de Y (Var[Y]): Var[Y] = Σ((y - E[Y])^2 * P(Y=y)) Var[Y] = (0 - 1,1)^2 * 0,3 + (1 - 1,1)^2 * 0,5 + (2 - 1,1)^2 * 0,3 Var[Y] = (-1,1)^2 * 0,3 + (-0,1)^2 * 0,5 + (0,9)^2 * 0,3 Var[Y] = 1,21 * 0,3 + 0,01 * 0,5 + 0,81 * 0,3 Var[Y] = 0,363 + 0,005 + 0,243 Var[Y] = 0,611 c) Para verificar se X e Y são independentes, devemos comparar a distribuição conjunta com o produto das distribuições marginais. P(X=x, Y=y) = P(X=x) * P(Y=y) Podemos observar que a distribuição conjunta não é igual ao produto das distribuições marginais, portanto, X e Y não são independentes. d) Para calcular P(X=1|Y=0), utilizamos a fórmula: P(X=x|Y=y) = P(X=x, Y=y) / P(Y=y) P(X=1|Y=0) = P(X=1, Y=0) / P(Y=0) P(X=1|Y=0) = 0,1 / 0,3 P(X=1|Y=0) = 1/3 Para calcular P(Y=2|X=3), utilizamos a fórmula: P(Y=y|X=x) = P(X=x, Y=y) / P(X=x) P(Y=2|X=3) = P(X=3, Y=2) / P(X=3) P(Y=2|X=3) = 0,1 / 0,5 P(Y=2|X=3) = 1/5 Espero ter ajudado!