As operações inversas: adição e subtração, multiplicação e divisão, potenciação e radiciação, exponenciação e logaritmação, já são bastante conheci...
Cálculo II
Aprimorando com Questões

Question

As operações inversas: adição e subtração, multiplicação e divisão, potenciação e radiciação, exponenciação e logaritmação, já são bastante conhecidas. A integração indefinida é basicamente a operação inversa da diferenciação. Assim, dada a derivada de uma função, o processo que consiste em achar a função que a originou, ou seja, achar a sua primitiva denomina-se de antiderivação. Baseado nisso, analise as opções que apresentam f(x), sendo que f'(x) = x² - 4x +3 para todo x e f(3)=5:
Assinale a alternativa CORRETA:

A) Somente a opção III está correta.
B) Somente a opção IV está correta.
C) Somente a opção II está correta.
D) Somente a opção I está correta.

Ed · Answer

Para resolver esse problema, precisamos encontrar a função f(x) que possui a derivada f'(x) = x² - 4x + 3. Em seguida, verificamos qual opção satisfaz a condição f(3) = 5.

Para encontrar a função f(x), integramos a derivada f'(x):
∫(x² - 4x + 3) dx = (1/3)x³ - 2x² + 3x + C

Agora, vamos encontrar o valor de C usando a condição f(3) = 5:
(1/3)(3)³ - 2(3)² + 3(3) + C = 5
(1/3)(27) - 2(9) + 9 + C = 5
9 - 18 + 9 + C = 5
C = 5 - 9 + 18 - 9
C = 5

Portanto, a função f(x) que satisfaz f'(x) = x² - 4x + 3 e f(3) = 5 é:
f(x) = (1/3)x³ - 2x² + 3x + 5

A opção correta é a letra B) Somente a opção IV está correta.

fernando allebrandt · Answer

Para encontrar a antiderivada da função \(f(x) = x^2 - 4x + 3\), você deve realizar a integração indefinida da função em relação a \(x\). Vamos calcular as opções fornecidas:

I) \(\int (x^2 - 4x + 3) dx\)

A integral de \(x^2\) em relação a \(x\) é \(\frac{1}{3}x^3\).

A integral de \(-4x\) em relação a \(x\) é \(-2x^2\).

A integral de \(3\) em relação a \(x\) é \(3x\).

Portanto, a antiderivada de \(x^2 - 4x + 3\) é \(\frac{1}{3}x^3 - 2x^2 + 3x + C\), onde \(C\) é uma constante de integração.

II) \(F(x) = \frac{1}{3}x^3 - 2x^2 + 3x\)

III) \(\int (x^2 - 4x + 3) dx + C\)

Aqui, a antiderivada é a mesma que em I, mas inclui a constante de integração \(C\), que não estava na opção I.

IV) \(F(x) = \frac{1}{3}x^3 - 2x^2 + 3x + C\)

Agora, verificamos se \(F(3) = 5\) para determinar a constante \(C\):

\(F(3) = \frac{1}{3}(3)^3 - 2(3)^2 + 3(3) + C\)

\(F(3) = \frac{1}{3}(27) - 2(9) + 9 + C\)

\(F(3) = 9 - 18 + 9 + C\)

\(F(3) = 0 + C\)

Portanto, \(C = 5\).

Agora, sabendo o valor de \(C\), podemos afirmar que a alternativa correta é:

B) Somente a opção IV está correta.

As operações inversas: adição e subtração, multiplicação e divisão, potenciação e radiciação, exponenciação e logaritmação, já são bastante conheci...

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