Seja H a hipérbole de excentricidade e = √2 e com vértices em (−1, 0) e (1, 0). a) Determine a equação reduzida de H e de suas asśıntotas em c...

a) Para determinar a equação reduzida da hipérbole H, podemos usar a fórmula geral da equação da hipérbole: (x - h)²/a² - (y - k)²/b² = 1 Onde (h, k) são as coordenadas do centro da hipérbole, a é o semieixo maior e b é o semieixo menor. No caso da hipérbole H, os vértices estão em (-1, 0) e (1, 0). Sabemos que a distância entre o centro da hipérbole e os vértices é igual ao semieixo maior, então a = 1. A excentricidade da hipérbole é dada por e = √2. A fórmula para calcular a excentricidade é e = c/a, onde c é a distância entre o centro da hipérbole e o foco. Como a excentricidade é √2 e a = 1, podemos encontrar c substituindo esses valores na fórmula da excentricidade: √2 = c/1 c = √2 Agora que temos o valor de c, podemos determinar a equação reduzida da hipérbole H: (x - 0)²/1² - (y - 0)²/b² = 1 x² - y²/b² = 1 b) Para mostrar que a equação de H em coordenadas polares é r = 1/√cos(2θ), podemos usar a relação entre as coordenadas retangulares (x, y) e as coordenadas polares (r, θ): x = rcos(θ) y = rsen(θ) Substituindo essas relações na equação reduzida da hipérbole H, temos: (rcos(θ))² - (rsen(θ))²/b² = 1 r²cos²(θ) - r²sen²(θ)/b² = 1 r²(cos²(θ) - sen²(θ))/b² = 1 Usando a identidade trigonométrica cos²(θ) - sen²(θ) = cos(2θ), podemos simplificar a equação: r²cos(2θ)/b² = 1 r²/b² = 1/cos(2θ) r² = b²/cos(2θ) r = √(b²/cos(2θ)) r = √(b²/((cos²(θ) - sen²(θ)))) r = √(b²/(cos²(θ) - (1 - cos²(θ)))) r = √(b²/(2cos²(θ) - 1)) Sabemos que a excentricidade e = √2, então b² = a²(e² - 1) = 1(2 - 1) = 1. Substituindo esse valor na equação, temos: r = √(1/(2cos²(θ) - 1)) r = √(1/(2cos²(θ) - 1)) Portanto, a equação de H em coordenadas polares é r = 1/√cos(2θ).