Na seguinte figura, considere a circunferência C de raio 5 e centro em O = (0, 0), a hipérbole H de focos F1 e F2 e o retângulo ABCD onde o lado...

(a) Os focos F1 e F2 da hipérbole H estão localizados no eixo OX, a uma distância de 4 unidades do centro O da circunferência C. Portanto, as coordenadas dos focos são F1 = (-4, 0) e F2 = (4, 0). (b) O ponto A está localizado na interseção entre a circunferência C e a hipérbole H. Como a circunferência tem centro em O = (0, 0) e raio 5, temos que a equação da circunferência é x² + y² = 25. Substituindo y² por (b²x² - b²a²)/a² na equação da hipérbole, temos: x² + (b²x² - b²a²)/a² = 25 (a² + b²)x² - b²a² = a²y² (a² + b²)x² - b²a² = a²(25 - x²) (a² + b²)x² + a²x² = 25a² x² = 25a²/(a² + b²) Substituindo x² na equação da circunferência, temos: 25a²/(a² + b²) + y² = 25 y² = 25b²/(a² + b²) Como o ponto A pertence à hipérbole e à circunferência, suas coordenadas satisfazem ambas as equações. Substituindo x² e y² nas equações acima, temos: 25a²/(a² + b²) + 25b²/(a² + b²) = 25 a² + b² = 1 a² = 1 - b² Substituindo a última equação na equação da hipérbole, temos: x²/(1 - b²) - y²/b² = 1 Como o ponto A pertence à hipérbole, suas coordenadas satisfazem a equação acima. Substituindo x = 3 e y = 4 na equação, temos: 9/(1 - b²) - 16/b² = 1 9b² - 16(1 - b²) = b²(1 - b²) 25b² - 16 = 0 b = ±4/5 Substituindo b na equação a² = 1 - b², temos: a = ±3/5 Portanto, as coordenadas do ponto A são A = (3, 4/5) e A' = (3, -4/5). (c) A equação da hipérbole H é x²/(1 - b²) - y²/b² = 1, onde a = 3/5 e b = 4/5. (d) Os vértices focais da hipérbole são V1 = (-3, 0) e V2 = (3, 0). Os vértices não focais são B = (-6, 0) e C = (6, 0). As equações das assíntotas são y = ±(b/a)x.