Considere a cônica definida pela equação 7x2 + 8xy + y2 − 2x+ 4y + 4 = 0. (a) (12 pontos) Determine um sistema de coordenadas ortogonal em que a...

(a) Para determinar um sistema de coordenadas ortogonal em que a equação fica reduzida, podemos utilizar a técnica de rotação de eixos. Primeiro, vamos calcular o ângulo de rotação θ utilizando a fórmula: tan(2θ) = (2 * coeficiente de xy) / (coeficiente de x² - coeficiente de y²) No caso da equação 7x² + 8xy + y² - 2x + 4y + 4 = 0, temos: tan(2θ) = (2 * 8) / (7 - 1) = 16 / 6 = 8 / 3 Agora, podemos calcular θ: θ = 1/2 * arctan(8/3) ≈ 0,588 radianos Agora, vamos fazer a rotação dos eixos coordenados por um ângulo θ no sentido anti-horário. Isso pode ser feito através das seguintes transformações: x' = x * cos(θ) - y * sin(θ) y' = x * sin(θ) + y * cos(θ) Substituindo os valores de θ e as coordenadas x e y na equação original, obtemos a equação reduzida em relação aos novos eixos coordenados x' e y'. (b) Para escrever a equação na forma reduzida e identificar a cônica, precisamos simplificar a equação obtida após a rotação dos eixos. A equação reduzida pode ser uma elipse, uma hipérbole, uma parábola ou uma reta, dependendo dos coeficientes presentes. (c) Para esboçar o gráfico da cônica e dos novos eixos coordenados no plano xy, podemos plotar os pontos que satisfazem a equação reduzida em relação aos novos eixos coordenados x' e y'. Isso nos dará uma ideia da forma da cônica e da orientação dos novos eixos. (d) Para determinar as coordenadas do(s) foco(s) da cônica no sistema de coordenadas original, precisamos voltar às coordenadas originais após a rotação dos eixos. Utilizando as transformações inversas, podemos encontrar as coordenadas dos focos em relação aos eixos originais x e y.