EDOs_Lista_1

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MAP 5711 - Equações Diferenciais Ordinárias
Lista 1
1) Considere o problema de Cauchy {
ẋ = f(x)
x(t0) = x0
(1)
com f : Ω ⊂ Rn → Rn de classe C1 e Ω aberto. Prove que (1) sempre admite uma solução
única.
2) * Seja M uma variedade diferenciável compacta, e X : M → TM um campo vetorial de
classe C1. Prove que, para qualquer p ∈M , o problema de Cauchy{
γ̇(t) = X[γ(t)]
γ(0) = p
tem solução γ definida para todo t ∈ R.
3) Para as funções abaixo, discuta se existe ou não uma constante de Lipschitz.
(a) f(t, x) = t|x|, |t| < a, x ∈ Rn
(b) f(t, x) = x1/3, |x| < 1
(c) f(t, x) = 1/x, 1 ≤ x
(d) f(t, x) = (x21x2, t+ x3, x
2
3), |x| ≤ b, |t| ≤ a
4) Dê um exemplo de um problema de Cauchy:
(a) Que admite mais de uma solução;
(b) Cuja solução não pode ser estendida para todo t ∈ R.
5) Resolva pelo método das aproximações sucessivas de Picard:
(a) ẋ = x, x(0) = 1
(b) ẋ = 2t(1 + x), x(0) = 0
(c) ẋ = x− t+ 1, x(0) = 0
(d) ẍ+ x = 0, x(0) = 0, ẋ(0) = 1
6) Prove que uma EDO autônoma unidimensional de primeira ordem não admite soluções
periódicas não-constantes.
7) Sejam φ, ψ : R→ R funções C1 tais que ambas satisfazem
ẋ(t) ≤ f [x(t)],
onde f : R→ R tem constante de Lipschitz K > 0. Prove que, se ψ(t0) ≥ φ(t0) para algum
t0 ∈ R, então ψ(t) ≥ φ(t) para todo t ≥ t0.
8) Considere f : R× Rn → Rn de classe C1 e suponha que φ(t) : R→ Rn é solução de{
ẋ = f(t, x)
x(t0) = x0
.
1
(a) É posśıvel que exista t1 6= t0 tal que φ(t1) = φ(t0) mas com φ′(t1) e φ′(t0) linearmente
independentes?
(b) Suponha agora que f não dependa de t, i.e., f = f(x). A sua resposta para o item (a)
muda?
Discuta suas respostas para (a) e (b) do ponto de vista da unicidade de soluções dada pelo
teorema de Picard.
9) Considere a EDO ẋ = f(t, x). Encontre uma transformação de variáveis y = h(x) que a
transforma em uma EDO autônoma ẏ = g(y).
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