Achar a solução geral da equação diferencial a) y′ + ( 1/x)y = senx, x > 0; b) x2y′ + 3xy = sen(x)/x, x < 0; c) y′ + (tgx)y = xsen(2x), −π/2 < ...

Vamos encontrar a solução geral para cada uma das equações diferenciais: a) y' + (1/x)y = sen(x), x > 0: Primeiro, vamos multiplicar toda a equação por x para eliminar o denominador: xy' + y = x * sen(x) Agora, vamos usar o fator integrante para resolver a equação. O fator integrante é dado por e^(∫(1/x)dx), que é igual a e^(ln|x|) = |x|. Multiplicando a equação por |x|, temos: x^2y' + xy = x^2 * sen(x) Agora, podemos reconhecer que a equação é uma forma da equação de Bernoulli, que é resolvida através da substituição y = u/v, onde u = v^(1-n) e n é o expoente da equação. Neste caso, n = 2. Fazendo essa substituição, temos: v^2u'/x + vu/x = x^2 * sen(x) Dividindo toda a equação por x^2, temos: u'/x + (v/u) = sen(x)/x Agora, fazendo a substituição v = u^(-1), temos: u'/x - u/x = sen(x)/x Multiplicando toda a equação por x, temos: u' - u = sen(x) Agora, podemos resolver essa equação diferencial linear de primeira ordem. A solução geral é dada por: u(x) = e^x * (C + ∫(e^(-x) * sen(x) dx)) Para encontrar a solução de y, basta substituir u(x) por y(x) = v(x)^(-1): y(x) = v(x)^(-1) Portanto, a solução geral da equação diferencial é y(x) = 1/v(x), onde v(x) é dado por: v(x) = e^x * (C + ∫(e^(-x) * sen(x) dx)) b) x^2y' + 3xy = sen(x)/x, x < 0: Essa equação diferencial também pode ser resolvida usando o método do fator integrante. Multiplicando toda a equação por x^2, temos: x^2y' + 3xy = sen(x)/x Agora, vamos usar o fator integrante, que é dado por e^(∫(3/x)dx), que é igual a e^(3ln|x|) = |x|^3. Multiplicando a equação por |x|^3, temos: x^5y' + 3x^4y = x^3 * sen(x) Agora, podemos fazer a substituição y = u/v, onde u = v^(1-n) e n é o expoente da equação. Neste caso, n = 5. Fazendo essa substituição, temos: v^5u'/x + 3v^4u/x = x^3 * sen(x) Dividindo toda a equação por x^3, temos: u'/x + (3v/u) = sen(x)/x^3 Agora, fazendo a substituição v = u^(-1), temos: u'/x - 3u/x = sen(x)/x^3 Multiplicando toda a equação por x, temos: u' - 3u = sen(x)/x^2 Agora, podemos resolver essa equação diferencial linear de primeira ordem. A solução geral é dada por: u(x) = e^(3x) * (C + ∫(e^(-3x) * sen(x)/x^2 dx)) Para encontrar a solução de y, basta substituir u(x) por y(x) = v(x)^(-1): y(x) = v(x)^(-1) Portanto, a solução geral da equação diferencial é y(x) = 1/v(x), onde v(x) é dado por: v(x) = e^(3x) * (C + ∫(e^(-3x) * sen(x)/x^2 dx)) c) y' + (tg(x))y = x * sen(2x), −π/2 < x < π/2: Essa equação diferencial também pode ser resolvida usando o método do fator integrante. Multiplicando toda a equação por cos(x), temos: cos(x)y' + (sen(x)/cos(x))y = x * sen(2x) * cos(x) Agora, vamos usar o fator integrante, que é dado por e^(∫(sen(x)/cos(x))dx), que é igual a e^(ln|sec(x)|) = |sec(x)|. Multiplicando a equação por |sec(x)|, temos: cos(x) * |sec(x)| * y' + sen(x)y = x * sen(2x) * cos(x) * |sec(x)| Agora, podemos fazer a substituição u = y * |sec(x)|, que nos dá: u' = y' * |sec(x)| + y * sec(x) * tan(x) Substituindo na equação, temos: u' + u * tan(x) = x * sen(2x) * cos(x) * |sec(x)| Agora, podemos resolver essa equação diferencial linear de primeira ordem. A solução geral é dada por: u(x) = e^(∫(tan(x))dx) * (C + ∫(x * sen(2x) * cos(x) * |sec(x)| * e^(-∫(tan(x))dx) dx)) Para encontrar a solução de y, basta substituir u(x) por y(x) * |sec(x)|: y(x) * |sec(x)| = u(x) Portanto, a solução geral da equação diferencial é y(x) = u(x)/|sec(x)|, onde u(x) é dado por: u(x) = e^(∫(tan(x))dx) * (C + ∫(x * sen(2x) * cos(x) * |sec(x)| * e^(-∫(tan(x))dx) dx)) d) xy' + 2y = ex, x > 0: Essa equação diferencial também pode ser resolvida usando o método do fator integrante. Multiplicando toda a equação por x, temos: x^2y' + 2xy = x^2 * ex Agora, vamos usar o fator integrante, que é dado por e^(∫(2/x)dx), que é igual a e^(2ln|x|) = |x|^2. Multiplicando a equação por |x|^2, temos: x^4y' + 2x^3y = x^4 * ex Agora, podemos fazer a substituição y = u/v, onde u = v^(1-n) e n é o expoente da equação. Neste caso, n = 4. Fazendo essa substituição, temos: v^4u'/x + 2v^3u/x = x^4 * ex Dividindo toda a equação por x^4, temos: u'/x + (2v/u) = ex Agora, fazendo a substituição v = u^(-1), temos: u'/x - 2u/x = ex Multiplicando toda a equação por x, temos: u' - 2u = xex Agora, podemos resolver essa equação diferencial linear de primeira ordem. A solução geral é dada por: u(x) = e^(2x) * (C + ∫(xex * e^(-2x) dx)) Para encontrar a solução de y, basta substituir u(x) por y(x) = v(x)^(-1): y(x) = v(x)^(-1) Portanto, a solução geral da equação diferencial é y(x) = 1/v(x), onde v(x) é dado por: v(x) = e^(2x) * (C + ∫(xex * e^(-2x) dx)) Espero que isso ajude! Se você tiver mais alguma dúvida, é só perguntar.