Para determinar a derivada da função inversa f(x) = x³ + 2x + 1 no ponto (1, 4), podemos seguir os seguintes passos: 1. Encontre a função inversa de f(x). Para isso, troque x por y na equação e resolva para y: x = y³ + 2y + 1 y³ + 2y + 1 - x = 0 2. Agora, precisamos encontrar a derivada da função f(x). Derivando f(x) em relação a x, temos: f'(x) = 3x² + 2 3. Aplicando o Teorema da Derivada da Função Inversa, temos: g'(y) = 1 / f'(x) 4. Substituindo o ponto (1, 4) na função inversa, encontramos o valor de y: 4 = y³ + 2y + 1 y³ + 2y - 3 = 0 Resolvendo essa equação, encontramos que y = 1. 5. Agora, substituindo y = 1 na derivada da função f(x), temos: f'(x) = 3x² + 2 f'(1) = 3(1)² + 2 f'(1) = 5 6. Aplicando o Teorema da Derivada da Função Inversa, temos: g'(1) = 1 / f'(1) g'(1) = 1 / 5 Portanto, a alternativa correta é: g'(1) = 1/5.
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