Para determinar a derivada da função inversa \( f(x) = 3x^3 - 2x^2 + x \) no ponto (1, 2), podemos seguir os passos mencionados na descrição da questão. Primeiro, encontramos a função inversa de \( f(x) \). Em seguida, derivamos essa função inversa e aplicamos o Teorema da Derivada da Função Inversa. A função inversa de \( f(x) = 3x^3 - 2x^2 + x \) é encontrada trocando \( f(x) \) por \( y \) e resolvendo para \( x \): \( y = 3x^3 - 2x^2 + x \) \( x = 3y^3 - 2y^2 + y \) Derivando ambos os lados em relação a \( y \), obtemos: \( 1 = 9y^2 - 4y + 1 \) \( 0 = 9y^2 - 4y \) \( y(9y - 4) = 0 \) \( y = 0 \) ou \( y = 4/9 \) Portanto, a função inversa é \( f^{-1}(x) = 0 \) ou \( f^{-1}(x) = 4/9 \). Agora, derivamos a função inversa e avaliamos no ponto (1, 2): \( f^{-1}(x) = 4/9 \) \( f^{-1'}(x) = 0 \) \( f^{-1'}(1) = 0 \) Portanto, a alternativa correta é: A) \( g'(4) = 1/4 \).
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