Suponha que a variável aleatória X tenha os valores possíveis 1, 2, 3, . . . e P(X = j) = 1/2j, j = 1, 2, 3, . . . (a) Calcule P(X é par). (b) Calc...

(a) Para calcular P(X é par), precisamos somar as probabilidades de todos os valores pares de X. Neste caso, temos os valores pares 2, 4, 6, ... A probabilidade de cada valor par é dada por P(X = 2j) = 1/2^(2j), onde j = 1, 2, 3, ... Podemos escrever a soma das probabilidades como: P(X é par) = P(X = 2) + P(X = 4) + P(X = 6) + ... Substituindo os valores na fórmula, temos: P(X é par) = 1/2^2 + 1/2^4 + 1/2^6 + ... Podemos observar que essa é uma série geométrica decrescente com razão 1/4. Utilizando a fórmula da soma de uma série geométrica, temos: P(X é par) = 1/2^2 + 1/2^4 + 1/2^6 + ... = (1/2^2)/(1 - 1/4) = 1/3 Portanto, a probabilidade de X ser par é 1/3. (b) Para calcular P(X ≥ 5), precisamos somar as probabilidades de todos os valores maiores ou iguais a 5. Neste caso, temos os valores 5, 6, 7, ... A probabilidade de cada valor é dada por P(X = j) = 1/2^j, onde j = 5, 6, 7, ... Podemos escrever a soma das probabilidades como: P(X ≥ 5) = P(X = 5) + P(X = 6) + P(X = 7) + ... Substituindo os valores na fórmula, temos: P(X ≥ 5) = 1/2^5 + 1/2^6 + 1/2^7 + ... Essa é novamente uma série geométrica decrescente com razão 1/2. Utilizando a fórmula da soma de uma série geométrica, temos: P(X ≥ 5) = 1/2^5 + 1/2^6 + 1/2^7 + ... = (1/2^5)/(1 - 1/2) = 1/16 Portanto, a probabilidade de X ser maior ou igual a 5 é 1/16. (c) Para calcular P(X ser divisível por 3), precisamos somar as probabilidades de todos os valores divisíveis por 3. Neste caso, temos os valores 3, 6, 9, ... A probabilidade de cada valor é dada por P(X = 3j) = 1/2^(3j), onde j = 1, 2, 3, ... Podemos escrever a soma das probabilidades como: P(X ser divisível por 3) = P(X = 3) + P(X = 6) + P(X = 9) + ... Substituindo os valores na fórmula, temos: P(X ser divisível por 3) = 1/2^3 + 1/2^6 + 1/2^9 + ... Essa é novamente uma série geométrica decrescente com razão 1/8. Utilizando a fórmula da soma de uma série geométrica, temos: P(X ser divisível por 3) = 1/2^3 + 1/2^6 + 1/2^9 + ... = (1/2^3)/(1 - 1/8) = 1/7 Portanto, a probabilidade de X ser divisível por 3 é 1/7.