Transforme em coordenadas cilíndricas: (a) F = 10ax − 8ay + 6az no ponto P(10, −8, 6). (b) G = (2x + y)ax − (y − 4x)ay no ponto Q(ρ, φ, z). (c) Fo...

Vamos transformar os vetores nas coordenadas cilíndricas solicitadas: (a) Para transformar o vetor F = 10ax - 8ay + 6az no ponto P(10, -8, 6) para coordenadas cilíndricas, usamos as seguintes fórmulas de conversão: ρ = √(x² + y²) φ = arctan(y / x) z = z Substituindo os valores, temos: ρ = √(10² + (-8)²) = √(100 + 64) = √164 φ = arctan((-8) / 10) = arctan(-0,8) ≈ -0,6745 radianos z = 6 Portanto, o vetor F em coordenadas cilíndricas no ponto P(10, -8, 6) é F = (√164)aρ + (-0,6745)aφ + 6az. (b) Para transformar o vetor G = (2x + y)ax - (y - 4x)ay no ponto Q(ρ, φ, z) para coordenadas cilíndricas, usamos as mesmas fórmulas de conversão: ρ = ρ φ = φ z = z Portanto, o vetor G em coordenadas cilíndricas no ponto Q(ρ, φ, z) é G = (2ρcos(φ) + ρsen(φ))aρ + (-ρsen(φ) + 4ρcos(φ))aφ. (c) Para fornecer os componentes cartesianos do vetor H = 20aρ - 10aφ + 3az em P(x = 5, y = 2, z = -1), usamos as fórmulas de conversão inversas: x = ρcos(φ) y = ρsen(φ) z = z Substituindo os valores, temos: ρcos(φ) = 5 ρsen(φ) = 2 z = -1 Podemos resolver essas equações para obter ρ e φ: ρ = √(5² + 2²) = √(25 + 4) = √29 sen(φ) / cos(φ) = 2 / 5 sen(φ) = 2cos(φ) / 5 Substituindo sen(φ) na segunda equação: (2cos(φ) / 5) / cos(φ) = 2 / 5 2cos(φ) = 2cos(φ) φ = arctan(2 / 5) ≈ 0,3805 radianos Portanto, o vetor H em coordenadas cartesianas no ponto P(x = 5, y = 2, z = -1) é H = 20(√29)ax - 10(0,3805)ay + 3az.