Quando se torna inviável resolver uma equação diferencial ordinária, lançamos mão dos métodos numéricos para encontrar uma aproximação f a esta sol...

Para resolver a equação diferencial y' = 4x + 2y pelo método de Euler, com y(1) = 0, no intervalo [1, 2] com n = 4, podemos seguir os seguintes passos: Passo 1: Calcular o tamanho do intervalo h h = (2 - 1) / 4 = 0,25 Passo 2: Definir os pontos iniciais x0 = 1 y0 = 0 Passo 3: Aplicar o processo iterativo para encontrar os valores de y nos pontos subsequentes Para x1: x1 = x0 + h = 1 + 0,25 = 1,25 y1 = y0 + h * f(x0, y0) = 0 + 0,25 * (4 * x0 + 2 * y0) = 0 + 0,25 * (4 * 1 + 2 * 0) = 0 + 0,25 * 4 = 1 Para x2: x2 = x1 + h = 1,25 + 0,25 = 1,50 y2 = y1 + h * f(x1, y1) = 1 + 0,25 * (4 * x1 + 2 * y1) = 1 + 0,25 * (4 * 1,25 + 2 * 1) = 1 + 0,25 * (5 + 2) = 1 + 0,25 * 7 = 1 + 1,75 = 2,75 Para x3: x3 = x2 + h = 1,50 + 0,25 = 1,75 y3 = y2 + h * f(x2, y2) = 2,75 + 0,25 * (4 * x2 + 2 * y2) = 2,75 + 0,25 * (4 * 1,50 + 2 * 2,75) = 2,75 + 0,25 * (6 + 5,5) = 2,75 + 0,25 * 11,5 = 2,75 + 2,875 = 5,625 Para x4: x4 = x3 + h = 1,75 + 0,25 = 2,00 y4 = y3 + h * f(x3, y3) = 5,625 + 0,25 * (4 * x3 + 2 * y3) = 5,625 + 0,25 * (4 * 1,75 + 2 * 5,625) = 5,625 + 0,25 * (7 + 11,25) = 5,625 + 0,25 * 18,25 = 5,625 + 4,5625 = 10,1875 Portanto, a aproximação da solução y pelo método de Euler para a equação diferencial y' = 4x + 2y, com y(1) = 0, no intervalo [1, 2] com n = 4, é y ≈ 10,1875.