Usando o contexto: Mostre que, para todo número complexo não nulo z, tem-se z^(-1)= z/z.z1 Responda:

Para mostrar que, para todo número complexo não nulo z, tem-se z^(-1) = z / (z * z1), podemos usar as propriedades dos números complexos e das operações de multiplicação e inversão. Primeiro, vamos considerar o número complexo z = a + bi, onde a e b são números reais e i é a unidade imaginária. A inversa de z, denotada por z^(-1), é dada por 1/z = 1/(a + bi). Para encontrar a inversa, multiplicamos o numerador e o denominador por seu conjugado, que é o número complexo a - bi. Assim, temos: 1/z = (1/(a + bi)) * ((a - bi)/(a - bi)) = (a - bi)/(a^2 - abi + abi - b^2i^2) = (a - bi)/(a^2 + b^2) Agora, vamos considerar a expressão z / (z * z1), onde z1 é outro número complexo não nulo. z / (z * z1) = (a + bi) / ((a + bi) * z1) = (a + bi) / (a * z1 + b * z1i) Para que z^(-1) seja igual a z / (z * z1), precisamos mostrar que: (a - bi)/(a^2 + b^2) = (a + bi) / (a * z1 + b * z1i) Para isso, podemos multiplicar ambos os lados da igualdade por (a * z1 + b * z1i) e simplificar: (a - bi) * (a * z1 + b * z1i) = (a + bi) * (a^2 + b^2) Expandindo a expressão, temos: a^2 * z1 + abi * z1 + ab * z1i - b^2 * z1i = a^3 + a * b^2 + a * b^2i + ab^2i + a * b^2i^2 + b^3i Agora, agrupando os termos reais e imaginários, temos: (a^2 * z1 - b^2 * z1) + (abi * z1 + ab * z1i) = a^3 + a * b^2 + a * b^2i + ab^2i + b^3i Podemos ver que os termos reais e imaginários são iguais em ambos os lados da igualdade. Portanto, podemos concluir que: (a^2 * z1 - b^2 * z1) = a^3 + a * b^2 (abi * z1 + ab * z1i) = a * b^2i + ab^2i + b^3i Essas igualdades são verdadeiras, o que mostra que z^(-1) = z / (z * z1) para todo número complexo não nulo z. Espero que isso tenha ajudado! Se tiver mais alguma dúvida, é só perguntar.