Um químico possui 10 tipos de substâncias. De quantos modos possíveis pode associar 6 destas substâncias se, entre as 10, duas somente não podem se...

Um químico possui 10 tipos de substâncias. De quantos modos possíveis pode associar 6 destas substâncias se, entre as 10, duas somente não podem ser juntadas porque produzem mistura explosiva?

Os compostos que não podem se misturar serão A e B. Exceto estes, há mais 8 que não têm nenhuma restrição.
Então há 3 possibilidades:
i) Associar a substância A e mais 5 substâncias entre as outras 8.
Já temos a substância A e queremos escolher 5 entre as 8 restantes. Para isso temos que calcular o número de combinações de 8 elementos tomados 5 a 5, ou seja C(8, 5):
C(n, p) = n!/[p!.(n - p)!]
C(8, 5) = 8!/[5!.(8 - 5)!]
C(8, 5) = 56
Então, com a substância A, como não podemos misturar a substância B, podemos formar 56 misturas de 6 compostos.
ii) Associamos a substância B e mais 5 substâncias entre as outras 8. Já temos a substância B e queremos escolher 5 entre as 8 restantes. Para isso temos que calcular o número de combinações de 8 elementos tomados 5 a 5 novamente:
C(8, 5) = 56
Então, com a substância B, como não podemos misturar a substância A, podemos formar 56 misturas de 6 compostos.
iii) Associamos 6 das 8 substâncias sem problemas. Agora precisamos calcular o número de subconjuntos de 6 elementos que podemos formar a partir do conjunto de 8 elementos. Isso é obtido pela fórmula da combinação de 8 elementos tomados 6 a 6:
C(n, p) = n!/[p!.(n - p)!]
C(8, 6) = 8!/[6!.(8 - 6)!]
C(8, 6) = 28
Então podemos formar 28 misturas de 6 elementos com os 8 elementos fora A e B.
Para saber o total de misturas temos que somar os itens i), ii) e iii), que são todas as associações possíveis: 56 + 56 + 28 = 140 maneiras.