Em um sistema de coordenadas tridimensional, considere a reta r, definida pelos pontos A(1, 2, 3) e B(4, 5, 6), e o plano α, dado pela equação 2x -...

Para determinar a relação entre a reta r e o plano α, podemos verificar se a reta é perpendicular ou paralela ao plano, se a reta está contida no plano, se o plano está contido na reta ou se a reta intercepta o plano em um único ponto. Para isso, podemos utilizar o vetor diretor da reta r, dado por: d = B - A = (4, 5, 6) - (1, 2, 3) = (3, 3, 3) Podemos também determinar um vetor normal ao plano α, que é dado pelos coeficientes da equação do plano, ou seja: n = (2, -1, 3) Para verificar se a reta é perpendicular ao plano, basta verificar se o vetor diretor é perpendicular ao vetor normal ao plano, ou seja, se o produto escalar entre eles é igual a zero: d . n = (3, 3, 3) . (2, -1, 3) = 6 - 3 + 9 = 12 Como o produto escalar é diferente de zero, concluímos que a reta r não é perpendicular ao plano α. Para verificar se a reta é paralela ao plano, basta verificar se o vetor diretor é paralelo ao vetor normal ao plano, ou seja, se o produto vetorial entre eles é igual a zero: d x n = (3, 3, 3) x (2, -1, 3) = (9, 3, -9) Como o produto vetorial é diferente de zero, concluímos que a reta r não é paralela ao plano α. Para verificar se a reta está contida no plano, podemos verificar se um ponto da reta pertence ao plano. Tomando o ponto A(1, 2, 3), temos: 2x - y + 3z = 2(1) - 2 + 9 = 9 ≠ 7 Portanto, a reta r não está contida no plano α. Para verificar se o plano está contido na reta, podemos verificar se um ponto do plano pertence à reta. Tomando x = 0 na equação do plano, temos: - y + 3z = 7/2 Isolando y, temos: y = 3z - 7/2 Substituindo na equação da reta, temos: x = 1 + 3t y = 2 + 3t z = 3 + 3t Substituindo y em função de z, temos: 3 + 3t = 3z - 7/2 6 + 6t = 6z - 7 6t + 7 = 6z - 6 t = (6z - 13)/6 Substituindo t em função de x, temos: x = 1 + 3[(6z - 13)/6] = 3z - 2 Portanto, as coordenadas de um ponto da reta em função de z são dadas por: x = 3z - 2 y = 3z - 1 z = z Substituindo na equação do plano, temos: 2(3z - 2) - (3z - 1) + 3z = 7 6z - 4 - 3z + 1 + 3z = 7 6z = 10 z = 5/3 Portanto, o ponto da reta que pertence ao plano é dado por: x = 3(5/3) - 2 = 1 y = 3(5/3) - 1 = 4 z = 5/3 Como a reta r intercepta o plano α em um único ponto, a alternativa correta é a letra E) I e V estão corretas.