Para determinar a relação entre a reta \( r \) e o plano \( \alpha \), vamos seguir os passos: 1. Encontrar o vetor diretor da reta \( r \): Os pontos \( A(1, 2, 3) \) e \( B(4, 5, 6) \) definem a reta. O vetor diretor \( \vec{d} \) é dado por: \[ \vec{d} = B - A = (4 - 1, 5 - 2, 6 - 3) = (3, 3, 3) \] 2. Identificar a normal do plano \( \alpha \): A equação do plano é \( 2x - y + 3z = 7 \). O vetor normal \( \vec{n} \) do plano é dado pelos coeficientes da equação: \[ \vec{n} = (2, -1, 3) \] 3. Verificar a relação entre a reta e o plano: - Para saber se a reta é paralela ao plano, verificamos se o vetor diretor \( \vec{d} \) é paralelo ao vetor normal \( \vec{n} \). Isso ocorre se \( \vec{d} \cdot \vec{n} = 0 \). - Calculando o produto escalar: \[ \vec{d} \cdot \vec{n} = (3, 3, 3) \cdot (2, -1, 3) = 3 \cdot 2 + 3 \cdot (-1) + 3 \cdot 3 = 6 - 3 + 9 = 12 \neq 0 \] Portanto, a reta não é paralela ao plano. 4. Verificar se a reta está contida no plano: Para isso, substituímos as coordenadas de um ponto da reta (por exemplo, o ponto \( A(1, 2, 3) \)) na equação do plano: \[ 2(1) - 2 + 3(3) = 2 - 2 + 9 = 9 \neq 7 \] Portanto, a reta não está contida no plano. 5. Verificar se a reta intercepta o plano: Como a reta não é paralela e não está contida no plano, ela deve interceptá-lo em um único ponto. Conclusão: A alternativa correta é que a reta \( r \) intercepta o plano \( \alpha \) em um único ponto.