Considere a famı́lia T de triângulos retângulos construı́dos no primeiro quadrante do plano cartesiano de tal forma que os catetos estão contido...

Para encontrar a menor área dos triângulos da família T, precisamos encontrar a hipotenusa do triângulo retângulo que tangencia a curva y = 4 - x². Para isso, podemos utilizar a equação da curva para encontrar a equação da reta tangente em um ponto (x, y). A equação da reta tangente é dada por y = (-2x0)(x - x0) + y0, onde (x0, y0) é o ponto de tangência. Substituindo y = 4 - x² na equação da reta tangente, temos: 4 - x² = (-2x0)(x - x0) + y0 Para que a reta tangente toque a curva, essa equação deve ter duas raízes iguais. Portanto, o discriminante deve ser igual a zero: (-2x0)² - 4(y0 - 4 + x0²) = 0 Simplificando, temos: x0² + 2x0y0 - 12 = 0 Resolvendo para y0, temos: y0 = (12 - x0²)/(2x0) A hipotenusa do triângulo retângulo é dada por h = √(x² + y²). Substituindo y por y0 na equação da hipotenusa, temos: h = √(x² + ((12 - x0²)/(2x0))²) Para encontrar a menor área, precisamos minimizar a função da área do triângulo, que é dada por A = (x0y0)/2. Substituindo y0 na equação da área, temos: A = (x0(12 - x0²))/(4x0) Simplificando, temos: A = 3x0 - (x0³/4) Para encontrar o valor mínimo de A, podemos derivar em relação a x0 e igualar a zero: dA/dx0 = 3 - (3/4)x0² = 0 x0² = 4 x0 = 2 Substituindo x0 na equação de y0, temos: y0 = (12 - 4)/(2*2) = 2 Substituindo x0 e y0 na equação da hipotenusa, temos: h = √(2² + 2²) = 2√2 Finalmente, substituindo x0 e y0 na equação da área, temos: A = 3*2 - (2³/4) = 6 - 2 = 4 Portanto, a menor das áreas dos triângulos da família T é 4 unidades de comprimento². Resposta: (e) 615,74 unidades de comprimento².