Seja a equação diferencial y'' + 2xy' + y = 0. Sabe-se que as funções y = cos(2x) e y = 3sen(2x) são soluções da equação dada. Determine uma soluçã...

Primeiramente, vamos encontrar a solução geral da equação diferencial homogênea y'' + 2xy' + y = 0. Para isso, vamos utilizar o método de Frobenius. Assumindo que a solução da equação diferencial é da forma y(x) = ∑(n=0)∞ anxn+r, temos: y'(x) = ∑(n=0)∞ (n+r)anxn+r-1 y''(x) = ∑(n=0)∞ (n+r)(n+r-1)anxn+r-2 Substituindo na equação diferencial, temos: ∑(n=0)∞ (n+r)(n+r-1)anxn+r-2 + 2x∑(n=0)∞ (n+r)anxn+r-1 + ∑(n=0)∞ anxn+r = 0 Multiplicando o primeiro termo por (n+r)(n+r-1), o segundo termo por 2(n+r) e somando tudo, temos: ∑(n=0)∞ [(n+r)(n+r-1)an + 2(n+r)an]xn+r-1 + ∑(n=0)∞ anxn+r = 0 Simplificando, temos: ∑(n=0)∞ [(n+r)(n+r+1) + 2(n+r)]anxn+r + ∑(n=0)∞ anxn+r = 0 Igualando os coeficientes de xn+r a zero, temos: (n+r)(n+r+1)an + 2(n+r)an + an-2 = 0 Simplificando, temos: an = -an-2 / [(n+r)(n+r+1) + 2(n+r)] Para encontrar a solução particular que atende às condições iniciais y(0) = 4 e y'(0) = 4, vamos utilizar o método da variação dos parâmetros. Assumindo que a solução particular é da forma y(x) = u(x)cos(2x) + v(x)sen(2x), temos: y'(x) = u'(x)cos(2x) + u(x)(-2sen(2x)) + v'(x)sen(2x) + v(x)(2cos(2x)) y''(x) = u''(x)cos(2x) + u'(x)(-2sen(2x)) + u(x)(-4cos(2x)) + v''(x)sen(2x) + v'(x)(2cos(2x)) + v(x)(-4sen(2x)) Substituindo na equação diferencial, temos: u''(x)cos(2x) + u'(x)(-2sen(2x)) + u(x)(-4cos(2x)) + v''(x)sen(2x) + v'(x)(2cos(2x)) + v(x)(-4sen(2x)) + 2x[u'(x)cos(2x) + u(x)(-2sen(2x)) + v'(x)sen(2x) + v(x)(2cos(2x))] + [u(x)cos(2x) + v(x)sen(2x)] = 0 Simplificando, temos: u''(x)cos(2x) + u'(x)(-2sen(2x)) + u(x)(-4cos(2x)) + v''(x)sen(2x) + v'(x)(2cos(2x)) + v(x)(-4sen(2x)) + 2xu'(x)cos(2x) - 4xu(x)sen(2x) + 2xv'(x)sen(2x) + 4xv(x)cos(2x) + u(x)cos(2x) + v(x)sen(2x) = 0 Igualando os coeficientes de cos(2x) e sen(2x) a zero, temos: u''(x) - 4u(x) + v'(x) + 2xu'(x) + u(x) = 0 v''(x) - 4v(x) - u'(x) + 2xv'(x) + v(x) = 0 Para encontrar u(x) e v(x), vamos utilizar as soluções y1(x) = cos(2x) e y2(x) = 3sen(2x) da equação diferencial homogênea. Assumindo que u(x) = a(x)cos(2x) + b(x)sen(2x) e v(x) = c(x)cos(2x) + d(x)sen(2x), temos: u'(x) = a'(x)cos(2x) + b'(x)sen(2x) + 2a(x)(-sen(2x)) + 2b(x)cos(2x) v'(x) = c'(x)cos(2x) + d'(x)sen(2x) - 2c(x)(sen(2x)) + 2d(x)cos(2x) Substituindo na equação diferencial, temos: a''(x)cos(2x) + b''(x)sen(2x) - 4a(x)cos(2x) + 2x[a'(x)cos(2x) + b'(x)sen(2x) - 2a(x)sen(2x) + 2b(x)cos(2x)] + a(x)cos(2x) + b(x)sen(2x) = 0 c''(x)cos(2x) + d''(x)sen(2x) - 4c(x)cos(2x) + 2x[c'(x)cos(2x) + d'(x)sen(2x) + 2c(x)sen(2x) + 2d(x)cos(2x)] + c(x)cos(2x) + d(x)sen(2x) = 0 Igualando os coeficientes de cos(2x) e sen(2x) a zero, temos: a''(x) - 4a(x) + 2xa'(x) + a(x) = 0 b''(x) - 4b(x) + 2xb'(x) + b(x) = 0 c''(x) - 4c(x) + 2xc'(x) + c(x) = 0 d''(x) - 4d(x) + 2xd'(x) + d(x) = 0 As soluções dessas equações diferenciais são: a(x) = -1/2x^2 + 2x + 1/2 b(x) = x - 2 c(x) = -1/2x^2 + 1/2 d(x) = 2x Portanto, a solução particular que atende às condições iniciais y(0) = 4 e y'(0) = 4 é: y(x) = [(-1/2x^2 + 2x + 1/2)cos(2x) + (x - 2)sen(2x)]cos(2x) + [(-1/2x^2 + 1/2)cos(2x) + 2xsen(2x)]sen(2x) Simplificando, temos: y(x) = -1/2x^2cos(2x) + 2xcos(2x) + 1/2cos(2x) + xsen(2x) - 2sen(2x) + xsen(2x) + 4x^2sen(2x) Portanto, a solução da equação diferencial y'' + 2xy' + y = 0 que atende às condições iniciais y(0) = 4 e y'(0) = 4 é: y(x) = -1/2x^2cos(2x) + 2xcos(2x) + 2xsen(2x) + 4x^2sen(2x) - 2