Seja a equação diferencial y" + 4y = que as funções y = cos(2x) ey = 3sen(2x) são soluções da equação dada. Determine uma solução que atenda a cond...

A equação diferencial é y" + 4y = 0. Para encontrar uma solução que atenda às condições iniciais, podemos usar o método de superposição. Primeiro, encontramos a solução geral da equação diferencial homogênea, que é yh = Acos(2x) + Bsen(2x), onde A e B são constantes a serem determinadas. Agora, encontramos a solução particular da equação diferencial não homogênea. Como y = cos(2x) é uma solução, podemos tentar uma solução particular da forma yp = x(cos(2x) + Asen(2x)). y' = cos(2x) + Asen(2x) - 2xsen(2x) + Acos(2x) y'' = -4cos(2x) - 4Asen(2x) - 4sen(2x) - 4Ax Substituindo y e y'' em y" + 4y = 0, temos: (-4cos(2x) - 4Asen(2x) - 4sen(2x) - 4Ax) + 4(x(cos(2x) + Asen(2x))) = 0 Simplificando, temos: (-4A + 4x)sen(2x) + (4x + 4)cos(2x) = 0 Igualando os coeficientes de sen(2x) e cos(2x), temos: -4A + 4x = 0 4x + 4 = 0 Resolvendo o sistema, encontramos A = 1 e x = -1. Portanto, a solução particular é yp = -x(sen(2x) + cos(2x)). A solução geral da equação diferencial é y = yh + yp = Acos(2x) + Bsen(2x) - x(sen(2x) + cos(2x)). Usando as condições iniciais y(0) = l e y'(0) = 4, temos: y(0) = A = l y'(x) = -2xsen(2x) + Acos(2x) + Bsen(2x) - sen(2x) - xcos(2x) y'(0) = A - 1 = 4 Resolvendo o sistema, encontramos A = 5 e B = -2. Portanto, a solução da equação diferencial que atende às condições iniciais é: y = 5cos(2x) - 2sen(2x) - x(sen(2x) + cos(2x))