A transformada de Laplace é usada para resolver equações diferenciais com condições iniciais. Sabendo que f é uma função seccionalmente definida so...

Para calcular (s), precisamos aplicar a transformada de Laplace em f(t) e utilizar as propriedades da transformada de Laplace. Aplicando a transformada de Laplace em f(t), temos: L{f(t)} = F(s) = ∫[0,+∞] f(t)e^(-st)dt Utilizando a propriedade da transformada de Laplace para a derivada de uma função, temos: L{f'(t)} = sF(s) - f(0) Como a derivada de f(t) é seccionalmente contínua e de ordem exponencial, podemos aplicar a propriedade da transformada de Laplace para a derivada de uma função de ordem exponencial, que é: L{f^(n)(t)} = s^nF(s) - s^(n-1)f(0) - s^(n-2)f'(0) - ... - f^(n-1)(0) Substituindo os valores dados, temos: f(0) = 1 f'(t) = d/dt(arctan(s)) = 1/(1+s^2) f''(t) = d/dt(1/(1+s^2)) = -2s/(1+s^2)^2 Aplicando as propriedades da transformada de Laplace, temos: L{f'(t)} = sF(s) - f(0) L{f''(t)} = s^2F(s) - sf(0) - f'(0) Substituindo os valores de f(0), f'(0) e f''(0), temos: sF(s) - 1 = arctan(s) s^2F(s) - s - 1 = -2s/(1+s^2)^2 Isolando F(s) na primeira equação, temos: F(s) = (1/arctan(s)) - (1/s) Substituindo F(s) na segunda equação, temos: s^2[(1/arctan(s)) - (1/s)] - s - 1 = -2s/(1+s^2)^2 Simplificando a equação, temos: s^3 + s^2 - s - 1 = 2s/(1+s^2)^2 Multiplicando ambos os lados por (1+s^2)^2, temos: s^3(1+s^2)^2 + s^2(1+s^2)^2 - s(1+s^2)^2 - (1+s^2)^2 = 2s Expandindo os termos, temos: s^7 + 2s^6 - 2s^5 - 3s^4 - s^3 + 2s^2 + 2s + 1 = 0 Infelizmente, não é possível encontrar uma solução analítica para essa equação. Portanto, a solução para (s) deve ser encontrada numericamente.