Verifique se equação diferencial é exata e em caso afirmativo resolva-a: (4x3+4xy)dx+(2x2+2y−1)dy=0 Escolha uma opção: a. F(x,y)=2x5+x2y+y2+K ...

Para verificar se a equação diferencial é exata, precisamos verificar se a condição de equação diferencial exata é satisfeita. A condição é dada por: ∂Q/∂x = ∂P/∂y Onde P e Q são as funções que multiplicam dx e dy, respectivamente. Neste caso, temos: P = 4x³ + 4xy Q = 2x² + 2y - 1 Calculando as derivadas parciais: ∂Q/∂x = 4x ∂P/∂y = 4x Como ∂Q/∂x = ∂P/∂y, a equação diferencial é exata. Para encontrar a função F(x,y), precisamos integrar P em relação a x e encontrar a função G(y) como constante de integração. Em seguida, derivamos G(y) em relação a y e igualamos a Q. Assim, temos: F(x,y) = ∫Pdx + G(y) F(x,y) = ∫(4x³ + 4xy)dx + G(y) F(x,y) = x⁴ + 2x²y + G(y) Agora, derivando F(x,y) em relação a y e igualando a Q, temos: ∂F/∂y = 2x² + G'(y) 2x² + G'(y) = 2x² + 2y - 1 G'(y) = 2y - 1 Integrando G'(y), temos: G(y) = y² - y + C Portanto, a solução geral da equação diferencial é: F(x,y) = x⁴ + 2x²y + y² - y + C Substituindo as opções, vemos que a resposta correta é a letra d: F(x,y) = x⁴ + 2x²y + y² - y + K