Problemas de Matemática

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43. Problema: Calcule a integral indefinida de \( g(x) = x \). 
 Resposta: A integral de \( g(x) \) é \( \int x \, dx = \frac{x^2}{2} + C \), onde \( C \) é a 
constante de integração. Explicação: Esta é a integral da função linear, então usamos a 
regra da potência. 
 
44. Problema: Determine o limite de \( h(x) = \frac{\tan(x)}{x} \) quando \( x \) se aproxima 
de 0. 
 Resposta: O limite de \( h(x) \) é 1. Explicação: Podemos usar a regra de L'Hôpital para 
resolver essa indeterminação, que nos leva a \( \lim_{x \to 0} \frac{\sec^2(x)}{1} = 1 \). 
 
45. Problema: Encontre os pontos críticos de \( f(x) = \frac{\ln(x)}{x} \). 
 Resposta: O ponto crítico de \( f(x) \) é \( x = e \). Explicação: Os pontos críticos são onde 
a derivada se anula, então resolvemos \( f'(x) = 0 \). 
 
46. Problema: Calcule a área da região limitada pelas curvas \( y = e^x \) e \( y = x^2 \). 
 Resposta: A área da região é \( e - 1 \). Explicação: Para encontrar a área entre as curvas, 
calculamos a integral definida da diferença entre as funções. 
 
47. Problema: Determine a inclinação da reta tangente à curva \( y = \cos(x) \) no ponto \( 
(\frac{\pi}{2},0) \). 
 Resposta: A inclinação da reta tangente é 0. Explicação: A inclinação da reta tangente a 
uma função no ponto \( (a, f(a)) \) é dada pela derivada da função avaliada em \( x = a \). 
Claro, aqui estão 100 problemas de matemática para você: 
 
1. Qual é a derivada de \( f(x) = x^2 \)? 
 Resposta: A derivada de \( f(x) = x^2 \) é \( f'(x) = 2x \). Esta é encontrada utilizando a regra 
do poder. 
 
2. Calcule o valor de \( \lim_{{x \to 3}} \frac{{x^2 - 9}}{{x - 3}} \). 
 Resposta: Utilizando a forma de indeterminação \( \frac{0}{0} \), podemos fatorar a 
expressão e simplificar para obter \( \lim_{{x \to 3}} \frac{{x^2 - 9}}{{x - 3}} = \lim_{{x \to 3}} (x 
+ 3) = 6 \). 
 
3. Qual é a solução da equação \( 2x + 5 = 17 \)?