?Usar indução matemática para mostrar: a) 1³ +2³ +3³ +···+n³ = n²(n+1)2/4 ,∀n∈N. b) 1.2 +2.3+3.4+···n(n+1) = n(n+1)(n+2)/3, ∀n ∈ N. ???

a) Para provar a igualdade 1³ +2³ +3³ +···+n³ = n²(n+1)2/4, podemos usar o princípio da indução matemática. Primeiro, verificamos se a igualdade é verdadeira para n = 1: 1³ = 1²(1+1)²/4 1 = 1 Agora, suponha que a igualdade seja verdadeira para um número natural k qualquer, ou seja: 1³ +2³ +3³ +···+k³ = k²(k+1)²/4 Vamos provar que a igualdade também é verdadeira para k+1: 1³ +2³ +3³ +···+k³ + (k+1)³ = (k+1)²(k+2)²/4 Para isso, basta somar (k+1)³ em ambos os lados da igualdade anterior: 1³ +2³ +3³ +···+k³ + (k+1)³ = k²(k+1)²/4 + (k+1)³ Agora, vamos simplificar o segundo termo: k²(k+1)²/4 + (k+1)³ = (k+1)²(k²/4 + k + 1) Podemos reescrever k²/4 + k + 1 como (k+2)²/4, e substituir na igualdade anterior: (k+1)²(k²/4 + k + 1) = (k+1)²(k+2)²/4 Assim, provamos que a igualdade é verdadeira para k+1, e portanto, por indução matemática, é verdadeira para todo número natural n. b) Para provar a igualdade 1.2 +2.3+3.4+···n(n+1) = n(n+1)(n+2)/3, podemos usar o princípio da indução matemática. Primeiro, verificamos se a igualdade é verdadeira para n = 1: 1.2 = 1(1+1)(1+2)/3 2 = 2 Agora, suponha que a igualdade seja verdadeira para um número natural k qualquer, ou seja: 1.2 +2.3+3.4+···k(k+1) = k(k+1)(k+2)/3 Vamos provar que a igualdade também é verdadeira para k+1: 1.2 +2.3+3.4+···k(k+1) + (k+1)(k+2) = (k+1)(k+2)(k+3)/3 Para isso, basta somar (k+1)(k+2) em ambos os lados da igualdade anterior: 1.2 +2.3+3.4+···k(k+1) + (k+1)(k+2) = k(k+1)(k+2)/3 + (k+1)(k+2) Agora, vamos simplificar o segundo termo: k(k+1)(k+2)/3 + (k+1)(k+2) = (k+1)(k+2)(k+3)/3 Assim, provamos que a igualdade é verdadeira para k+1, e portanto, por indução matemática, é verdadeira para todo número natural n.