Complete the square and make a variable change to obtain the equality √(x^2 - 4x + 1) = √(y^2 + c). Determine y and c, where c is a real constant. ...

Vamos lá! Primeiro, vamos completar o quadrado para a expressão x^2 - 4x + 1. x^2 - 4x + 1 = (x - 2)^2 - 3 Agora, substitua essa expressão na equação original: √((x - 2)^2 - 3) = √(y^2 + c) Em seguida, eleve ambos os lados da equação ao quadrado: (x - 2)^2 - 3 = y^2 + c Agora, faça uma mudança de variável, substituindo x - 2 por u: u = x - 2 Substitua u na equação: u^2 - 3 = y^2 + c Rearranjando a equação, temos: y^2 = u^2 - c - 3 Agora, podemos ver que y^2 é igual a uma expressão que só depende de u, c e uma constante. Portanto, podemos escolher um valor para u que simplifique a equação. Se escolhermos u = 0, temos: y^2 = -c - 3 Para que y seja real, c deve ser menor ou igual a -3. Portanto, podemos escolher c = -3 e obter: y^2 = 0 y = 0 Portanto, a solução é y = 0 e c = -3.