Questão resolvida - Determine a área da região em forma de hélice compreendida entre a curva x - y3 O e a reta x - y O - Cálculo I - CSV

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Tiago Lima - Instagram: @professor_disciplinas_exatas
 
• Determine a área da região em forma de hélice compreendida entre a curva 
 e a reta .x - y = 03 x - y = 0
 
Resolução:
 
Primeiro, vamos achar a intercessão entre as curvas; 
 
Para determinar a intercessão, devemos igualar as curvas, vamos isolar x na reta;
 
x - y = 0 x = y→
 
Agora, substituímos na equação da outra curva e resolvemos para y;
 
y - y = 0 y 1 - y = 0 y = 0 ou 1 - y = 03 → 2 → 2
 -y = - 1 × -12 ( )
 y = 1 y = ± 2 → 1 →
 y = ±1
 
Assim, podemos concluir que as curvas se interceptam nos pontos; 0, 0 , 1, 1 e -1, -1 . ( ) ( ) ( )
Isolando y na curva , fica;x - y = 03
 
x - y = 0 -y = - x × -1 y = x y = = x3 → 3 ( ) → 3 → x
1
3
Para saber o comportamento da curva , substituímos valores para x como: y = x
. Temos como resultados;x = ±0, 2; x = ±0, 4 e x = ±0, 8
y = y = ±0, 58±0, 2 →
y = y = ±0, 74±0, 4 →
y = y = ±0, 93±0, 8 →
 
A reta é uma curva simétrica em relação aos eixos coordenados, com isso, podemos x = y
traçar a região que desejamos obter a área;
 
 
3
3
3
3
3
Como se trata de área entre curvas, vamos usar a fórmula:
 
A = f x - g x dx∫
𝛽
𝜃
( ( ) ( ))
 
 onde é a curva de cima e a cruva de baixo, o limite de ingeragração vai de -1 a 1, f x( ) g x( )
assim, a integral da área da região fica:
A = x - x dx
1
∫
-1
1
3
 
Como as 2 áreas que compõem a região são simétricas, a intgeral da área fica;
 
A = 2 x - x dx
1
0
∫
1
3
 
Resolvendo;
 
 
 
A = 2 x - x dx = 2 - = 2 - = 2 -
1
0
∫
1
3
x
+ 1
+1
1
3
1
3
x
2
2 1
0
x
1 + 3
3
1+3
3
x
2
2 1
0
x
4
3
4
3
x
2
2 1
0
= 2 x - = 2 = 3x - 2x = 3 1 - 2 1 - 3 0 - 2 0
3
4
4
3
x
2
2 1
0
3x - 2x
4
4
3 2 1
0
2
4
4
3 2
1
0
1
2
( )
4
3 ( )2
1
2
( )
4
3 ( )2
 
= 3 ⋅ 1 - 2 ⋅ 1 = 3 - 2 = 1
1
2
( )
1
2
( )
1
2
( )
 
A = u. a.
1
2
 
 
(Resposta )