Determine volume do sólido que se encontra abaixo do plano 3x +y+z=12 e acima do retângulo R = {(x, y) -2 A 89/5 B 95/2 C 50 D 92/2 As integrais d...

Para calcular o volume do sólido que se encontra abaixo do plano 3x + y + z = 12 e acima do retângulo R = {(x, y) -2 ≤ x ≤ 89/5, 50 ≤ y ≤ 95/2}, podemos utilizar o Teorema de Fubini e as integrais duplas. Primeiro, podemos reescrever a equação do plano como z = 12 - 3x - y. Em seguida, podemos escrever a integral dupla para calcular o volume como: V = ∬R (12 - 3x - y) dA Onde dA é o elemento de área do retângulo R. Podemos integrar em relação a y e depois em relação a x, ou vice-versa. Vamos integrar em relação a y primeiro: V = ∫-2^(89/5) ∫50^(95/2) (12 - 3x - y) dy dx Integrando em relação a y, temos: V = ∫-2^(89/5) [12y - (1/2)y^2 - 3xy]50^(95/2) dx Agora, integrando em relação a x, temos: V = ∫-2^(89/5) [600 - 89x - (1/2)(95/2)^2 + (1/2)(50)^2 + 3x(95/2 - 50)] dx V = ∫-2^(89/5) [600 - 89x - 225/2 + 625/2 + 3x(45/2)] dx V = ∫-2^(89/5) [725/2 + 67/2x] dx V = [725/2x + (67/4)x^2]_-2^(89/5) V = 725/2(89/5 + 2) + 67/4(89/5)^2 - 725/2(2) - 67/4(2)^2 V = 3035/2 Portanto, o volume do sólido é 3035/2 unidades cúbicas.