O empresário Augusto deseja lançar um novo suco em lata no mercado. Para isso, foi feito um contrato com uma indústria de embalagens, que deve fabr...

Para encontrar as medidas R e H que minimizam a quantidade de alumínio utilizada na fabricação dos recipientes cilíndricos, é necessário utilizar o conceito de otimização. A fórmula para calcular o volume de um cilindro é V = π * R² * H, onde π é uma constante aproximadamente igual a 3,14, R é o raio da base e H é a altura do cilindro. Como a capacidade do recipiente deve ser de 800 cm³, temos que V = 800 cm³. Substituindo na fórmula do volume, temos: 800 = π * R² * H Para minimizar a quantidade de alumínio utilizada, é necessário minimizar a área da superfície do cilindro, que é dada por A = 2πRH + 2πR². Podemos isolar H na equação do volume e substituir na equação da área: H = 800 / (π * R²) A = 2πR(800 / (π * R²)) + 2πR² A = 1600 / R + 2πR² Para encontrar o valor mínimo da área, é necessário derivar a equação em relação a R e igualar a zero: dA/dR = -1600/R² + 4πR = 0 1600/R² = 4πR R³ = 400/π R ≈ 4,02 cm Substituindo o valor de R na equação de H, temos: H = 800 / (π * (4,02)²) H ≈ 15,87 cm Portanto, as medidas que minimizam a quantidade de alumínio utilizada na fabricação dos recipientes cilíndricos são R ≈ 4,02 cm e H ≈ 15,87 cm.