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O empresário Augusto deseja lançar um novo suco em lata no mercado. Para isso, foi feito um contrato com uma indústria de embalagens, que deve fabr...

O empresário Augusto deseja lançar um novo suco em lata no mercado. Para isso, foi feito um contrato com uma indústria de embalagens, que deve fabricar recipientes cilíndricos em alumínio com capacidade de 800 cm³. Qual deve ser a medida R do raio da base e a medida H da altura de cada um desses recipientes cilíndricos de modo que a quantidade de alumínio utilizada para sua fabricação seja mínima?

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Para encontrar as medidas R e H que minimizam a quantidade de alumínio utilizada na fabricação dos recipientes cilíndricos, é necessário utilizar o conceito de otimização. A fórmula para calcular o volume de um cilindro é V = π * R² * H, onde π é uma constante aproximadamente igual a 3,14, R é o raio da base e H é a altura do cilindro. Como a capacidade do recipiente deve ser de 800 cm³, temos que V = 800 cm³. Substituindo na fórmula do volume, temos: 800 = π * R² * H Para minimizar a quantidade de alumínio utilizada, é necessário minimizar a área da superfície do cilindro, que é dada por A = 2πRH + 2πR². Podemos isolar H na equação do volume e substituir na equação da área: H = 800 / (π * R²) A = 2πR(800 / (π * R²)) + 2πR² A = 1600 / R + 2πR² Para encontrar o valor mínimo da área, é necessário derivar a equação em relação a R e igualar a zero: dA/dR = -1600/R² + 4πR = 0 1600/R² = 4πR R³ = 400/π R ≈ 4,02 cm Substituindo o valor de R na equação de H, temos: H = 800 / (π * (4,02)²) H ≈ 15,87 cm Portanto, as medidas que minimizam a quantidade de alumínio utilizada na fabricação dos recipientes cilíndricos são R ≈ 4,02 cm e H ≈ 15,87 cm.

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