Calcule o volume do sólido limitado pelas superfícies zyx22=+ e 2zyx222=++. Calcule o volume do sólido

Para calcular o volume do sólido limitado pelas superfícies zyx^2=1 e 2zyx^2=2+x^2, podemos utilizar o método de integração por coordenadas cilíndricas. Primeiro, devemos encontrar os limites de integração para cada coordenada. Como as superfícies são simétricas em relação ao eixo z, podemos integrar apenas em um quarto do sólido e multiplicar o resultado por 4. Assim, temos que 0 ≤ z ≤ 1, 0 ≤ θ ≤ 2π e 0 ≤ r ≤ √(2+z^2). Agora, podemos escrever a integral tripla para o volume do sólido: V = 4 ∫∫∫ r dz dr dθ, onde os limites de integração são os que encontramos acima. Resolvendo a integral, temos: V = 4 ∫∫∫ r dz dr dθ V = 4 ∫0^1 ∫0^2π ∫0^√(2+z^2) r dz dr dθ V = 4 ∫0^1 ∫0^2π [(1/2)(2+z^2)^(3/2)] dr dθ V = 4 ∫0^1 ∫0^2π [(1/2)(2+z^2)^(3/2) - (1/2)2^(3/2)] dθ dz V = 4π/3 Portanto, o volume do sólido é 4π/3.