Calcule o volume do sólido limitado pelas superfícies 22 yxz += e 22 yx2z −−= . Esboce o sólido. Calcule o volume do sólido Esboce o sólido

Para calcular o volume do sólido limitado pelas superfícies 22 yxz += e 22 yx2z −−=, podemos utilizar o método de integração por dupla. Primeiro, vamos esboçar o sólido: O sólido é formado por duas partes: uma em forma de cone e outra em forma de pirâmide. A base da pirâmide é um triângulo equilátero com lados de comprimento 2, e a altura da pirâmide é 2. O cone tem altura 2 e raio 2. Para calcular o volume, podemos integrar a função 1 em relação às coordenadas x, y e z, limitadas pelas superfícies dadas. A integral tripla fica assim: V = ∫∫∫ dV = ∫∫∫ dx dy dz Onde as integrais são limitadas pelas superfícies 22 yxz += e 22 yx2z −−=. Podemos reescrever as superfícies como: z = 2 - x^2 - y^2 z = x^2 + y^2 Assim, podemos integrar em relação a z primeiro, depois em relação a y e, por fim, em relação a x. A integral tripla fica assim: V = ∫∫∫ dx dy dz = ∫∫ [2 - x^2 - y^2 - (x^2 + y^2)] dx dy V = ∫∫ (2 - 2x^2 - 2y^2) dx dy Agora, podemos integrar em relação a y e depois em relação a x: V = ∫∫ (2 - 2x^2 - 2y^2) dx dy = ∫ [-2/3 x^3 - 2xy^2 + 2x] dy V = ∫ [-2/3 x^3 y - 2/3 y^3 x + 2xy] dx V = [-1/12 x^4 y - 1/6 x^2 y^3 + x^2 y] (x=-2..2) (y=-sqrt(4-x^2)..sqrt(4-x^2)) Ao calcular a integral, obtemos o volume do sólido: V = 32/3 * pi / 5 Portanto, o volume do sólido é aproximadamente 6,77 unidades cúbicas.