Os pontos P e Q dividem os lados CA e CB de um triângulo ∆ABC de modo que k −→CPk k −→ PAk = x 1 − x , k −→CQk k −→QBk = y 1 − y ...

Para provar que se −→PQ = λ−→AB então x = y = λ, podemos utilizar a semelhança de triângulos. Seja M o ponto de interseção de PQ com AB. Temos que: −→PM = λ−→AM e −→QM = λ−→BM Podemos escrever −→AM e −→BM em função de −→AC e −→BC, respectivamente: −→AM = x−→AC e −→BM = y−→BC Assim, temos: −→PM = λ(x−→AC) e −→QM = λ(y−→BC) Podemos escrever −→AC e −→BC em função de −→AB: −→AC = (1−x)−→AB e −→BC = (1−y)−→AB Substituindo na equação anterior, temos: −→PM = λx−→AB e −→QM = λy−→AB Como −→PQ = −→PM + −→MQ, temos: −→PQ = λx−→AB − λy−→AB = λ(x−y)−→AB Mas sabemos que −→PQ = λ−→AB, então: λ−→AB = λ(x−y)−→AB Logo, x−y = 1, ou seja, x = y + 1 ou y = x + 1. No entanto, x e y são frações entre 0 e 1, então a única possibilidade é x = y = λ. Portanto, a afirmação é verdadeira.